Bienvenue sur Laurentvidal.fr, où vous pouvez obtenir des réponses fiables et rapides grâce à nos experts. Obtenez des réponses rapides et fiables à vos questions grâce à notre communauté dédiée d'experts sur notre plateforme. Connectez-vous avec une communauté d'experts prêts à fournir des solutions précises à vos questions de manière rapide et efficace sur notre plateforme conviviale de questions-réponses.
Sagot :
Réponse :
Bonjour exercice sympa et classique.
Explications étape par étape :
1) Etude de la fonction g(x)=2/(x²+1)
a) Domaine de définition Df=R car le terme x²+1 est toujours>0 on peut aussi affirmer que g(x) est toujours >0.
b) Limites aux bornes du Df
si x tend vers +ou -oo g(x) tend vers 2/+oo soit 0+
On en déduit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale.
c) Parité :on note que g(-x)=g(x) ; g(x) est donc paire et l'axe des ordonnées est un axe de symétrie.
d)Dérivée: g(x) est une fonction quotient g'(x)=-2(2x)/(x²+1)²=-4x/(x²+1)²
e)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo 0 +oo
g'(x) + 0 -
g(x) 0+ croît 2 décroît 0+
f) Courbe : elle a l'aspet d'un chapeau de gendarme ou type courbe de Gauss.
2)L'équation de la tangente au point d'abscisse x=-1 est donnée par la formule : y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
y=1(x+1)+1=x+2
y=x+2 La réponse donnée dans l'énoncé
3)On étudie le signe de g(x)-y
si c'est >0 la courbe est au dessus de la droite ; si c'est <0 la courbe est en dessous de la droite.
g(x)-y=2/(x²+1)-(x+2)=[2-(x+2)(x²+1)]/(x²+1)==(-x³-2x²+x)/(x²+1)
(x²+1) étant toujours>0 le signe de cette expression dépend uniquement du signe de E(x)=-x³-2x²-x soit de (-x)(x²+2x+1)=(-x)(x+1)²
tableau de signes de E(x)
x -oo -1 0 +oo
(-x) + + 0 -
(x+1)² + 0 + +
E(x) + 0 + 0 -
La courbe Cg est donc:
a) au dessus de la droite pour x appartenant à ]-oo;-1[ U[-1; 0[ avec un point de tangence pour x=-1
b) en dessous de la droite pour x appartenant à]0; +oo[
Merci d'utiliser notre plateforme. Nous sommes toujours là pour fournir des réponses précises et à jour à toutes vos questions. Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Votre connaissance est précieuse. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de réponses et d'informations.