bonjour
1)
a)
• courbe représentative de f (en bleu)
x -∞ -4 -2 -1 0 1 2 4 +∞
1/x -1/4 -1/2 -1 || 1 1/2 1/4
↘ || ↘
c'est une hyperbole
• courbe représentative de g (en rouge)
c'est une droite
deux points si x = 0 alors g(0) = 1/2 A(0 ; 1/2)
si x = 3 alors g(3) = 2 B(3 ; 2)
b)
inéquation (1) 1/x - (x + 1)/2 ≥ 0
<=> f(x) - g(x) ≥ 0
<=> f(x) ≥ g(x)
résolution graphique
les solutions de l'inéquation (1) sont les abscisses des points le la courbe f qui sont au-dessus de ceux de la courbe g
ces deux courbes se coupent en
C(-2 ; -1/2) et D(1 ; 1)
S = ]-∞ ; -2] U ]0 ; 1]
2)
résolution algébrique
(1) 1/x - (x + 1)/2 ≥ 0 <=> 2/(2x) - x(x + 1) / 2x ≥ 0
<=> [2 - x(x + 1)] / 2x ≥ 0
<=> (2 - x² - x) / 2x ≥ 0
<=> (x² + x - 2) / 2x ≤ 0
on factorise le numérateur
discriminant du trinôme x² + x - 2 est
Δ = b² − 4ac = 1² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²
x1 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1 et x2 = (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2
(1) <=> (x - 1)(x + 2) / 2x ≤ 0
tableau des signes
x -∞ -2 0 1 +∞
x - - 0 + +
(x - 1) - - - 0 +
(x + 2) - 0 + + +
(x-1)(x+2)/2x - 0 + || - 0 +
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on retrouve : S = ]-∞ ; -2] U ]0 ; 1]
