Réponse :
déterminer les asymptotes éventuelles ainsi que la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes
f(x) = (x² - 4 x + 3)/(2 x + 3) f est définie ssi 2 x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 3/2
donc Df = R - {- 3/2}
f(x) = a x + b + c/(2 x + 3)
= [(a x + b)(2 x + 3) + c]/(2 x + 3)
= (2a x² + 3a x + 2b x + 3b + c)/(2 x + 3)
= (2a x² + (3a + 2b) x + (3b + c))/(2 x + 3)
2a = 1 ⇔ a = 1/2 = 0.5
3a + 2b = - 4 ⇔ 3/2 + 2b = - 4 ⇔ 2b = - 4 - 3/2 = - 11/2
⇔ b = - 11/4=-2.75
3b + c = 3 ⇔ - 33/4 + c = 3 ⇔ c = 3 + 33/4 = 45/4 = 11.25
donc f(x) = 0.5 x - 2.75 + 11.25/(2 x + 3)
lim f(x) = - ∞ et lim f(x) = + ∞
x→ - 3/2 x→ - 3/2
x < - 3/2 x > - 3/2
donc x = - 3/2 est une asymptopte verticale // à l'axe des ordonnées
lim f(x) - (0.5 x - 2.75) = lim (11.25/(2 x + 3) = 0
x+∞ x→+∞
et lim f(x) - (0.5 x - 2.75) = lim (11.25/(2 x + 3) = 0
x→ -∞ x→ -∞
donc y = 0.5 x - 2.75 est une asymptote oblique
et lorsque x > - 3/2 ⇒ 11.25/(2 x + 3) > 0 donc la courbe Cf est au-dessus de l'asymptote y = 0.5 x - 2.75
et lorsque x < - 3/2 Cf est en dessous de l'asymptote oblique
Explications étape par étape :