Bonjour,
le mieux est de dessiner un arbre.
premiere partie
il gagne avec une proba de 0.2
li perd avec une proba de 1-0.8=0.8
deuxieme partie
s'il a perdu la premiere, il gagne la deuxieme avec une proba de 0.5
et il perd avec une proba de 0.5
s'il a gagné la premiere, il gagne la deuxieme avec une proba de 0.7
et il perd avec une proba de 0.3
1. Ainsi
[tex]p_2=0.8*0.5+0.2*0.7=0.4+0.14=0.54[/tex]
2.
c'est une probabilité conditionnelle, c'est égale à la proba qu il gagne la premiere partie et la deuxieme divisée par [tex]p_2[/tex]
d'où
[tex]\dfrac{0.8*0.5}{0.54}=\dfrac{0.4}{0.54}=\dfrac{0.2}{0.27}[/tex]
ce qui fait environ 0.74
3. apres cette petite mise en jambe essayons de voir le cas géneral
au rang n soit il a gagne avec une proba [tex]p_n[/tex] soit il a perdu avec une proba [tex]1-p_n[/tex]
donc au rang n+1
[tex]p_{n+1}=0.7*p_n+0.5*(1-p_n)\\\\p_{n+1}=0.2*p_n+0.5\\\\\boxed{p_{n+1}=\dfrac1{5}*p_n+\dfrac1{2}}[/tex]
4.
on peut retrancher 5/8 à chaque membre de cette égalité
[tex]p_{n+1}-\dfrac{5}{8}=\dfrac1{5}*p_n+\dfrac1{2}-\dfrac{5}{8}\\\\p_{n+1}-\dfrac{5}{8}=\dfrac1{5}*p_n-\dfrac{1}{8}\\\\p_{n+1}-\dfrac{5}{8}=\dfrac1{5}*\left( p_n-\dfrac{5}{8} \right)\\\\[/tex]
ce qui donne
[tex]v_{n+1}=\dfrac1{5}*v_n[/tex]
la raison est 1/5
et
[tex]v_1=p_1-\dfrac{5}{8}=0.2-\dfrac{5}{8}=\dfrac{8-25}{40}=-\dfrac{17}{40}[/tex]
b)
du coup pour n entier naturel non nul
[tex]v_n=-\dfrac{17}{40}*\dfrac1{5^{n-1}}[/tex]
et donc
[tex]p_n=v_n+\dfrac{5}{8}=-\dfrac{17}{40}*\dfrac1{5^{n-1}}+\dfrac{5}{8}[/tex]
et on retrouve bien la valeur de [tex]p_2[/tex]
Merci
