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Bonjour, est ce que vous pouvez m’aider pour un exercice de maths ?
Exercice :
Au 1" janvier 2000, la ville A comptait 16000 habitants. Sa population baisse de 4 % par an
Au 1" janvier 2000, la ville B avait 9000 habitants. B voit sa population
augmenter de 5% par an.
On appelle u la population, exprimée en milliers d'habitants, de la ville A au 1 janvier de l'année (2000+ n ) et v celle de la ville B.
1.
a) Exprimer u- en fonction de u.
b) En déduire la nature de la suite (u").
c) Ecrire u. en fonction de n.
2.
a) Exprimer y- en fonction de v..
b) En déduire la nature de la suite (v.).
c) Ecrire y en fonction den
3.A l'aide de la calculatrice déterminer :
a) à partir de quelle année la population de la ville B deviendra supérieure à
12000 habitants.
b) à partir de quelle année la population de la ville A deviendra inférieure à
celle de la ville B.

Sagot :

Sara145900
Bonjour
1) P1=300000+300000*5/100-800
P2=P1+5*P1/100-800

2)P(n+1)=Pn+0.05Pn-800=1.05Pn-800

3)P(n+1)-Pn=0.05Pn-800
Pn n' est pas constant, et varie suivant l' annee, donc P(n+1)-Pn n' est pas constant aussi, et par suite Pn n' est pas une suite arithmetique.

P(n+1)/Pn=1.05Pn/Pn -800/Pn=1.05-800/Pn
De meme, Pn n' est pas constant, et varie suivant l' annee, donc P(n+1)/Pn n' est pas constant aussi, et par suite Pn n' est pas une suite geometrique.

4)Qn=Pn-16000

Il n' y a pas de question la ?

5)Pn est defini pour tout entier naturel n, et Qn=Pn-16000 donc Qn est defini pour tout entier naturel n, et:
Q(n+1)=P(n+1)-16000=1.05Pn-16800=1.05(Pn-16800/1.05)=1.05(Pn-16000)=1.05Qn

Par suite, Q(n+1)/Qn=1.05=constante; et Qn est une suite geometrique de raison q=1.05
Qn=Q0*q^n

q=1.05
Q0=P0-16000=300000-16000=284000

donc Qn=284000*1.05^n

Or Qn=Pn-16000
Pn=Qn+16000=284000*1.05^n+16000
6)P(n+1)-Pn=0.05Pn-800=0.05*(284000*1.05^n+16000)=14200*1.05^n+800

Pn est defini pour tout entier naturel n, donc:
1.05^n>0
14200*1.05^n>0
14200*1.05^n+800>0

et P(n+1)-Pn>0, donc P(n+1)>Pn et la suite Pn est croissante

Qn est une suite geometrique de premier terme Q0>0, et de raison q>1; donc Qn est aussi croissante pour tout entier naturel n.

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