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Soit ABC un triangle rectangle en A, (C) le demi- cercle circonscrit à ABC, (C,) le demi-cercle de diamètre [AB] et (c) le demi-cercle de diamètre [AC]. А B. m C Montrer que la somme des aires des deux par- ties coloriées est égale à l'aire du triangle ABC.
montrer que la somme des aires des deux parties coloriées est égale à l'aire du triangle ABC
vous pouvez m'aider s'il vous plaît ​

Soit ABC Un Triangle Rectangle En A C Le Demi Cercle Circonscrit À ABC C Le Demicercle De Diamètre AB Et C Le Demicercle De Diamètre AC А B M C Montrer Que La S class=

Sagot :

Mozi

Bonsoir,

Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle rectangle correspond au milieu de l'hypoténuse qu'on note I.

Pour le démontrer il suffit de considérer le point D symétrique de A par rapport à I (milieu de [BC].

ACDB est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. Or BAD est un angle droit. ACDB est par conséquent un rectangle.

D'où IA=IB=IC=ID (car les diagonales d'un rectangle en la même longueur).

Aire coloriée = Aire du demi cercle de diamètre [AB] + Aire du demi cercle de diamètre [AC] + Aire du triangle ABC - Aire du demi cercle de diamètre [BC]

Aire coloriée = π (AB/2)² / 2 + π (AC/2)² / 2 + AB.AC/2 - π (BC/2)² / 2

Aire coloriée = (π/8) (AB² + AC² - BC²) + AB.AC/2 = AB.AC/2

Puisque BC² = AB² + AC² d'après le th. de Pythagore.

On en déduit que l'aire colorée est égale à l'aire du triangle ABC = AB.AC/2

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