Bonsoir,
1) Df = IR \ { x∈ IR / |x| = 1} = IR \{-1 ; 1} = ]-∞ ; -1[ U ]-1 ; 1[ U ]1 ; +∞[
2) ∀ x ∈ Df -x ∈ Df
De plus ∀ x ∈ Df f(-x) = (|-x-2| + |-x+2|) / (|-x| + 1) = (|x-2| + |x+2|) / (|x| -1) = f(x)
f est donc une fonction paire.
3)a) cas 1: x∈[0;1[ U]1;2]
f(x) = (2-x+x+2)/(x-1) = 4/(x-1)
Par changement de variable x' = x-1, on note que la courbe de f sur [0;1[ U ]1;2] correspond à l'image de la courbe de 4/x sur [-1 ; 0[ U ]0 ; 1] par la translation de vecteur i(1;0)
Il s'agit donc d'une fonction décroissante.
avec f(0) = -4, lim en 1⁻ de f(x) = -∞, lim en 1⁺ de f(x) = +∞ et f(
cas 2 : x ∈ [2 ; +∞]
f(x) = (x-2+x+2)/(x-1) = 2x/(x-1) = (2(x-1)+2)/(x-1) = 2 + 2/(x-1)
Il s'agit également d'une fonction décroissante avec
f(2) = 4 et lim en +∞ de f(x) = 2
b) x | -∞_________-1__________0_____________1_____________+∞|
f(x) |2 croissante +∞||-∞ croissante -4 décroissante -∞||+∞ décroissante 2|
4) Par lecture graphique f(-3/2) = f(3/2) ≈ 8
Or f(-3/2) = f(3/2) = (2 - 3/2 + 2 + 3/2) / (3/2 - 1) = 4 / (½) = 8
f(x) ≥ 8 ⇔ x ∈ [-3/2 ; -1[ U ]1 ; 3/2]
5) si m < -4 ou m > 2, f(x) = m admet 2 solutions
si m=-4, f(x) = m admet une solution unique x = 0
si -4 < m ≤2, f(x) = m n'admet pas de solutions.
