Bonsoir,
Ex1
f(x) = (-3 x²+ x/4 - 1)/(2x²+1)
f'(x) = [(-6x+ 1/4)(2x²+1) - 4x (-3 x²+ x/4 - 1)] / (2x²+1)²
f'(x) = (-12x³ - 6x + x²/2 + 1/4 +12x³ - x² + 4x) / (2x²+1)²
f'(x) = (-x²/2 - 2x + 1/4) / (2x²+1)² = (-x² - 4x + ½) / 2(x²+1)²
f'(x) = -(x² + 4x + 4 - 4 - ½) / 2(x²+1)²
f'(x) = - ((x+2)² - 9/2) / 2(x²+1)²
f'(x) = 0 ⇔ (x+2)² = 9/2
⇔ x = -2 - (3√2)/2 ou x = -2 + (3√2)/2
⇔ x = (-4-3√2)/2 ou x = (-4+3√2)/2 ≈ 0,12
Léa a tort car f admet un maximum local en (-4+3√2)/2 et non pas en 0
Ex2
1) 2x - 21 = 0 ⇔ x = 21/2
f est donc définie sur IR \ {21/2}
x____|-∞______0_______21/2______+∞|
2x³__|____-____0____+___|____+____|
2x-21|____-____|____-____0____+____|
f(x)__|____+____0____-___||___+_____|
f'(x) = (6x² (2x - 21) - 4x³) / (2x-21)² = (8x³ - 126x²) / (2x-21)²
f'(x) = (4x - 63) . 2x² / (2x-21)²
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ou 4x = 63 ⇔ x = 0 ou x = 63/4
f'(x) est négatif pour tout x ≤ 63/4 et positif pour tout x ≥ 63/4
x____|-∞______0_______21/2______63/4______+∞|
f(x)__|____+____0____-___||___+_____|____+_____|
f'(x)__|____-____0____-___||___-_____0____+_____|
f(x)__|décroisste_0décroisste||décroisste|_croissante_|
