narutokun80
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Excusez moi du dérangement mais j'ai besoin d'aide... Je trouve cet exercice assez compliqué si quelqu'un qui aime les maths peut m'aider merci beaucoup...

On considère la fonction f définie sur] 0:+oo[ par: f(x)= In(x)/ x.

1.Déterminer la limite de la fonction f en 0. On admettra que la limite en +oo est égale à 0.

2. Déterminer la limite de la fonction f en +oo.

3. Montrer que, pour tout réel x > 0, on a:
f'(x) = 1-ln(x)/x^2

4. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.

5. a. Montrer que la fonction f admet un extremum. Donner la valeur exacte de cet extremum et une valeur approchée au dixième.
b. En quelle valeur de x cet extremum est-il atteint ?​​

Sagot :

1) lim ln x = -oo

lim x = 0^+ par quotient, lim f = -oo

2) Par croissances comparées, lim f = 0

3)

[tex] \frac{ \frac{1}{x}x + ln(x) }{x {}^{2} } [/tex]

[tex] = \frac{1 - ln(x)}{x {}^{2} } [/tex]

f'(x) =

4) Or pour tout réel x strct positif, x² > 0 donc le signe de f'(x) dépend du signe de 1 - ln (x)

1 - ln (x) > 0

ln(x) < 1

0<x < e

Donc f est croissante sur ] 0 ; e ]

f est décroissante sur [ e ; +oo [

5)a) f admet un extremum car f' s'annule pour x = e

f(e) = ln(e) / e = 1/e ≈0,4

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