Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
On pose la suite ([tex]u_n[/tex])[tex]_{n\in \mathbb{N}}[/tex], tel que [tex]u_n[/tex] = 2n + e.
Premiers termes de la suite
[tex]u_0 = 2 \times 0 + e = e[/tex]
[tex]u_1 = 2 \times 1 + e = 2 + e[/tex]
[tex]u_2 = 2 \times 2 + e = 4 + e[/tex]
[tex]u_3 = 2 \times 3 + e = 6 + e[/tex]
Nature de la suite
On souhaite savoir si la suite est arithmétique ou géométrique, et en déduire sa raison.
On constate parmi les différentes termes qui se suivent, une différence de 2 à chaque valeur. On peut donc en déduire que la suite est arithmétique de raison 2.
# On peut le vérifier via la formule d'une suite arithmétique, tel que :
[tex]u_n = u_0 + nr[/tex]
ex : [tex]u_3 = u_0 + 3*r = e + 3*2 = 6 + e[/tex]
on retrouve la valeur trouvée auparavant
Sens de variation d'une suite
On sait, grâce aux propriétés des suites, que :
· [tex]\forall n\in \mathbb{N}[/tex], ([tex]u_n[/tex]) est croissante ⇒ [tex]u_{n+1} \geq u_n[/tex]
· [tex]\forall n\in \mathbb{N}[/tex], ([tex]u_n[/tex]) est décroissante ⇒ [tex]u_{n+1} \leq u_n[/tex]
- Supposons ([tex]u_n[/tex]) croissante, on a donc :
[tex]u_{n+1} - u_n \geq 0[/tex]
⇔ [tex]2(n + 1) + e - 2n - e \geq 0[/tex]
⇔ [tex]2n + 2 - 2n \geq 0[/tex]
⇔ [tex]2 > 0[/tex]
On a donc ([tex]u_n[/tex]) strictement croissante.
# Cette méthode nous permet aussi de calculer la raison de la suite, on voit bien qu'on retrouve 2, soit la raison de la suite ([tex]u_n[/tex]).
Calcul d'une somme arithmétique
On souhaite cette fois-ci calculer :
[tex]S_{50} = u_0 + u_1 + ... + u_{50}[/tex]
# Informations nécessaires :
· On connaît la formule :
[tex]1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}[/tex]
· On adapte donc aux suites, tel que :
[tex]u_1 + u_2 + ... + u_{n} = \frac{u_{n}(u_{n} + 1)}{2}[/tex]
· On connaît la formule rappelée juste avant :
[tex]u_n = u_0 + nr[/tex]
- On calcule d'abord [tex]u_{50}[/tex] :
[tex]u_{50} = u_0 + 50*r = e + 50*2 = 100 + e[/tex]
- Puis on s'adapte à la formule d'une somme arithmétique :
[tex]S_{50} = \frac{u_{50}(u_{50} + 1)}{2} = \frac{(100 + e)(101 + e)}{2} = \frac{e^2 + 201e + 10100}{2}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !