Bonjour,
x² +1 > 0 pour tout x dans IR
f est donc définie et continue sur IR
1) Soit x ∈ IR
On a f(-x) - 1 / ((-x)² + 1) = 1 / (x² + 1) = f(x)
f est donc une fonction paire et sa courbe est symétrique pas rapport à (OJ).
2) Soit a et b deux réels positifs
0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a² ≤ b²
⇔ 1 + a² ≤ 1 + b²
⇔ 1 / (1 + a²) ≥ 1 / (1 + b²)
On en déduit que ∀ x et y dans [0 ; +∞[ x ≤ y ⇔ f(x) ≥ f(y)
f est donc décroissante sur [0 ; +∞[
3. Vu que f est une fonction paire.
∀ x et y dans ]-∞ ; 0] x ≤ y ⇔ -y ≤ -x avec -x et -y dans [0 ; +∞[
⇔ f(-x) ≤ f(-y) puisque f est décroissante sur [0 ; +∞[
⇔ f(x) ≤ f(y) puisque f est paire.
f est donc croissante sur ]-∞ ; 0]
4. on a f(0) = 1
x | -∞ 0 +∞|
f(x) | croissante 1 décroissante |
5. 6. je vous laisse faire les calculs et tracer la courbe. Un tracé est en pièce-jointe.
7.a S = [-1 ; 1]
b. f(x) ≥ 1/2 ⇔ 1 / (1 + x²) ≥ 1 /2
⇔ 1 + x² ≤ 2
⇔ x² - 1 ≤ 0
⇔ x² ≤ 1
⇔ - 1 ≤ x ≤ 1
S = [-1 ; 1]
Ce qui confirme la lecture graphique.
