Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Il faut : x/(x-2) > 0 . On remplace par :
x(x-2) > 0.
Cette expression du deuxième degré est positive à l'extérieur des racines car le coeff de x² est positif.
Df=]-∞;0] U ]2;+∞[ ===>x=0 est possible qui donne f(0)=0
f(x)=√[-x/(-x-2)]=√[x/(x+2)] ≠ f(x)
f(x) n'est pas paire.
-f(x) =-√[x/(x-2)] ≠ f(-x)
f(x) n'est ni paire ni impaire.
2)
f(-1)=√[-1/(-1-2)]=√(1/3)
f(0)=√(0/-2)=0
1 ∉ Df
2 ∉Df
3)
On résout :
√[x/(x-2)] =-2 ==>pas de solution : une racine carrée est ≥ 0.
-----------------
√[x/(x-2)] = 0 .
On élève chaque membre qui est positif au carré :
x/(x-2)=0 ===> x=0
-------------------
√[x/(x-2)] = 1
On élève chaque membre qui est positif au carré :
x/(x-2)=1
x=x-2
0=-2 : impossible , pas de solution.
-------------------
√[x/(x-2)] = 2
On élève chaque membre qui est positif au carré :
x/(x-2)=4
x=4(x-2)
x=4x-8
x=8/3
4)
Soient : 2 < a < b
2-2 < a-2 < b-2 qui donne :
1/(a-2) > 1/(b-2) car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de définition donc < se change en >.
Mais on écrit plutôt :
1/(b-2) < 1/(a-2)
Le fait de multiplier à gauche par "b" et à droite par "a" ne va pas changer le sens de l'inégalité .
En effet , on arrive à :
b/(b-2) < a/(a-2) et on va vérifier si c'est correct.
On a le droit de faire le produit en croix car tous les termes sont positifs. Ce qui donne :
b(a-2) < a(b-2)
ab-2b < ab-2a
-2b < -2a qui donne :
b > a : on a divisé par "-2" qui est négatif donc < change en > .
b > a est vérifié donc :
b/(b-2) < a/(a-2) est vérifié.
√[b/(b-2)] < √[a/(a-2)] car la fct racine carrée est croissante sur son intervalle de définition , donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
Donc :
f(b) < f(a).
Sur ]2;+∞[ , on est parti de a < b pour arriver à f(b) < f(a) , qui prouve que la fct f(x) est décroissante sur cet intervalle.
