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Bonjour/Bonsoir, je suis en première spé mathématiques et je voudrai savoir si quelqu'un pourrait m'aider au sujet de mon exercice de mathématique sur de l'application de la dérivation (merci en avance à ceux qui voudront m'aider). Voici l'exercice en pièce jointe.

BonjourBonsoir Je Suis En Première Spé Mathématiques Et Je Voudrai Savoir Si Quelquun Pourrait Maider Au Sujet De Mon Exercice De Mathématique Sur De Lapplicati class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1.

pour x réel

[tex]f_1(x)=x^4+x^2-1\\\\f_{-1}(x)=-x^4+x^2+1[/tex]

les points d'intersection de ces deux courbes vérifient

[tex]x^4+x^2-1=-x^4+x^2+1 < = > 2x^4=2 < = > x=1 \ ou \ x=-1[/tex]

ce qui donne A(1,1) e B(-1,1)

2.

[tex]f_{m}(1)=m+1-m=1\\\\f_{m}(-1)=m+1-m=1[/tex]

Donc c'est bien le cas.

3.

l'équation de la tangente en A(1,1) est

[tex]y=f_m'(1)(x-1)+f_m(1)=(4m+2)(x-1)+1\\\\=2(2m+1)x-4m-1[/tex]

le coefficient directeur de la droite (OA) est 1

A est bien sur la droite (OA) et A est bien sur les courbes Cm

donc on cherche m pour que 2(2m+1)=1 donc

[tex]2m+1=\dfrac1{2}\\\\m=-\dfrac{1}{4}[/tex]

4. f est dérivable car fonction polynomiale

pour x réel

[tex]f'(x)=4mx^3+2x=2x(2mx^2+1)\\\\f'' (x)=12mx^2+2[/tex]

la dérivée est égale à 0 pour x=0 ou

[tex]2mx^2+1=0 \\\\x^2=\dfrac{-1}{2m}[/tex]

si m>0 il n y a pas de solution

donc f' ne s annule que pour x = 0

et sur IR- f est décroissante et sur IR+ f est croissante donc en x=0 nous avons un minimum de f.

si m<0 nous avons

[tex]x_1=\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\ou\\\\x_0=-\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\[/tex]

nous pouvons faire un tableau de signes pour trouver que

f est croissante pour x plus petit que [tex]x_0[/tex]

f est décroissante entre [tex]x_0[/tex] et 0

f est croissante entre 0 et [tex]x_1[/tex]

et enfin elle est décroissante pour x plus grand que [tex]x_1[/tex]

dans ce cas nous avons deux extremums globaux en [tex]x_0[/tex] et [tex]x_1[/tex].

Pour conclure, nous n avons qu un seul extremum pour m>0.

5.

Nous savons que toutes les courbes Cm passent par le point A

or -1+6-4=1 donc A est bien sur la parabole

cherchons x qui égalise les dérivées en 1

[tex]f'_m(1)=4m+2=-2+6=4\\\\4m =2\\\\m=\dfrac1{2}[/tex]

Donc la réponse est m = 1/2

Merci

Réponse :

Explications étape par étape :

f(x) = mx^4 + x² - m

■ cas m = 1 :

  f(x) = x^4 + x² - 1 .

■ cas m = -1 :

  f(x) = -x^4 + x² + 1 .

  ■ ■ points A et B :

          x^4 + x² - 1 = -x^4 + x² + 1

                 2x^4   =   2

                   x^4   =   1

                   xB = -1   ou   xA = 1 .

                   yB = +1         yA = +1 .

■ 2°) f(-1) = f(1) = m + 1 - m = 1 .

■ 3°) equation de (OA) :

        y = x = première bissectrice !

        f ' (x) = 4mx³ + 2x donne f ' (1) = 4m + 2

        on veut f ' (1) = 1 donc 4m + 2 = 1

                                                4m   = -1

                                                  m   = -0,25 .

■ 4°) dérivée seconde :

        f " (x) = 12mx² + 2 = 2(6mx² + 1)

        on veut 6mx² + 1 = 0

                          6m     = -1/x²

                            m     = -1/(6x²) .

        il y aura en fait 2 extremum pour m < 0 .

        m = 0 donnerait la Parabole simple d' équation y = x²

                                                            ( un Minimum unique )

        il faut donc m > 0 pour admettre un Extremum unique ! ☺

■ 5°) Tangentes en A :

        p(x) = -x² + 6x - 4

        on veut p ' (x) = -2x + 6 = 4m + 2 pour x = 1

                      donc             4 = 4m + 2

                                           2 = 4m

                                          m = 0,5 .

   vérif avec tableau pour m = 0,5 :

    x -->      0      1        2

f ' (x) ->       0     4      20

 f(x) -->    -0,5    1      11,5

p ' (x) ->      6     4      2

 p(x) -->     -4     1      4

 on remarque bien le point commun A ( 1 ; 1 )

 et la Tangente commune d' équation y = 4x - 3 .

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