Réponse :
Définition
En cours de maths, le triangle se définit comme une figure plane dotée de trois côtés et angles. Ses trois angles sont nommés sommets et les trois segments qui relient ces sommets se nomment les côtés.
Propriétés concernant les triangles en géométrie
La somme des angles d'un triangle est égale à 180° ;
Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci ;
Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues ;
Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues et donc l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus ;
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse ;
Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse ;
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires car leur somme est de 90°.
Les différents types de triangles existant
Il existe plusieurs types de triangles. Chacun d'entre eux dispose de caractéristiques particulières.
Le triangle plat
Le triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Visuellement, il ressemble à une droite.
Le triangle isocèle
Le triangle isocèle est un triangle qui dispose d'au moins deux côtés de même taille, ce qui fait que les deux angles adjacents à ce côté sont de même mesure.
Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral est un triangle particulier dans lequel tous les côtés sont de même longueur. Il en résulte que tous ses angles soient de 60° puisque la somme des angles d'un triangle est de 180°.
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.
Le triangle obtusangle
Un triangle obtusangle est un triangle dont un angle est supérieur à 90° et les deux autres inférieurs à 90°.
Le triangle acutangle
Le triangle acutangle est un triangle dont aucun des trois angles ne mesure plus de 90°.
Les opérations dans les triangles et les théorèmes associés
De nombreux théorèmes existent afin de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou encore les mesures des angles de ces derniers. On y retrouve par exemple les célèbres théorèmes de Pythagore et théorèmes de Thalès
Le théorème de Pythagore
Un peu d'histoire
Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C'était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l'arithmétique, la médecine ou encore l'astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd'hui encore, c'est à lui qu'on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d'or. Il reste une figure incontournable des sciences.
Énoncé
Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Explication
Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².
Utilité
Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu'un triangle est rectangle ou ne l'est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :
Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
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Méthodologie
On cherche l’hypoténuse
Ce théorème va, en effet, permettre de calculer précisément des longueurs :
Dans le cas où on a un triangle ABC rectangle en B dont les mesures sont : AB = 3 cm et BC = 4 cm. On cherche le côté AC qui est l’hypoténuse.
On commence par une introduction
Puisque le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore
On écrit l’égalité
AC² = AB² + BC²
On continue le calcul
AC² = 3² + 4²
AC² = 9 + 16
AC² = 25
On supprime la racine
AC = √25
AC = 5
Une phrase de conclusion
[ AC ] mesure 5 cm.
On cherche un autre côté
Prenons le même triangle que dans l’ exercice précédent sauf que nous ne connaissons pas AB et nous connaissons AC qui mesure 5 cm .
On commence par une introduction
Puisque nous sommes dans le cas où le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore
