Réponse :
Explications étape par étape :
■ proba(Rouge) = 3/(n+7)
p(Blanc) = 4/(n+7)
p(Vert) = n/(n+7)
■ p(Rouge) --> Gain de 16 €uros
p(Blanc) --> Perte de 12 €
si Vert --> p(Vert puis Rouge) = 3n/(n+7)² --> Gain de 8 €
p(V puis B) = 4n/(n+7)² --> Perte de 2 €
p(V puis V) = n²/(n+7)² --> " Gain de zéro € "
■ tableau-résumé :
"Gain" --> -12€ -2€ 0€ 8€ 16€ Totaux↓
proba --> 4/(n+7) 4n/(n+7)² n²/(n+7)² 3n/(n+7)² 3/(n+7) 1
Espé --> -48/(n+7) -8n/(n+7)² 0 24n/(n+7)² 48/(n+7) E
■ on note que l' Espérance TOTALE = 16n/(n+7)²
■ étude de la fonction f telle que f(x) = x/(x+7)² :
il est clair qu' il faut x ≠ -7
dérivée f ' (x) = [ (x+7)² - x(2x+14) ] / (x+7)^4
= [ -x² + 49 ] / (x+7)^4
cette dérivée est nulle pour x = 7 .
La fonction f est croissante pour 0 ≤ x < 7 ;
f est décroissante pour x > 7 .
■ conclusion :
l' Espé est MAXI pour n = 7 ; d' où le tableau-résumé :
"Gain" --> -12€ -2€ 0€ 8€ 16€ Totaux↓
proba --> 2/7 1/7 1/4 3/28 3/14 1
Espé --> -3,43 -0,29 0 0,86 3,43 E
on a bien Emaxi = 0,57 .
