Bjr,
1.
[tex]\theta \in [0;\pi]\\\\Donc \ \sin(\theta) \geq 0\\\\Ansi \ \sin(\theta)=\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{1-\cos^2(\theta)}[/tex]
Donc en posant
[tex]\cos(\theta)=x\\\\\cos(\theta)\sin(\theta)=x\sqrt{1-x^2}[/tex]
et pour
[tex]\theta \in [0;\pi][/tex]
[tex]x=\cos(\theta) \in [-1;1][/tex]
2.
a.
f est définie pour
[tex]1-x^2=(1-x)(1+x)\geq 0[/tex]
donc [tex]x\in[-1;1][/tex]
On peut faire un tableau de signe pour s'en convaincre.
b.
f est dérivable sur ]-1;1[ et
comme [tex]1-x^2\geq 0[/tex]
[tex]f'(x)=\sqrt{1-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\\\=\dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
en mettant sur le même dénominateur
b.
Comme
[tex]1-2x^2=(1-\sqrt{2}x)(1+\sqrt{2}x)[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccc}x&-1&-\dfrac1{\sqrt{2}}&&\dfrac1{\sqrt{2}}&1\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&-&0&+&0&-\\---&---&---&---&---&---\\f(x)&\searrow&-\dfrac1{2}&\nearrow&\dfrac1{2}&\searrow\end{array}\right|[/tex]
Car
[tex]f(\dfrac1{\sqrt{2}})\\\\=\dfrac1{\sqrt{2}}*\sqrt{1-\dfrac1{2}}\\\\=\dfrac1{2}\\\\f(-\dfrac1{\sqrt{2}})\\\\=-\dfrac1{\sqrt{2}}*\sqrt{1-\dfrac1{2}}\\\\=-\dfrac1{2}\\\\[/tex]
la courbe représentative est en pièce jointe
l'extremum sur [-1,1] est 1/2
donc l'extremum de
[tex]\cos(\theta)\sin(\theta)[/tex]
est 1/2 sur
[tex][0,\pi][/tex]
Merci
