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J'ai besoin d'aide pour un exercice de mathématiques

On veut déterminer le signe, selon les valeurs de x, de x³ - 2x² - 4x + 5.
1. À l'aide d'un outil de tracé de courbes, conjecturer par lecture graphique le nombre de solutions dans R de l'équation x³ - 2x² - 4x + 5 = 0.
Proposer une valeur exacte ou arrondie à 0,1 près de chacune de ces solutions.
2. Montrer que, pour tout nombre réel x, x³ - 2x² - 4x + 5 = (x - 1)(x²-x-5).
3. Soit h la fonction définie sur R par h(x)=x²-x-5.
a. Déterminer l'unique nombre réel a tel que, pour tout nombre réel x, on a h(x) =(x - 2)² + a.
b. En déduire une forme factorisée de h(x).
4. Déduire des questions précédentes:
a. l'ensemble des solutions dans R de l'équation x³ - 2x2 - 4x + 5 = 0;
b. le tableau de signes de x³ - 2x² - 4x + 5.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Tracé joint réalisé avec le logiciel gratuit Sine Qua Non.

On trouve :

x1 ≈ -18 ; x2=1 et x3 ≈2.8

2)

Tu développes tout seul : (x-1)(x²-x-5)

et tu vas trouver le f(x) donné.
3)

h(x)=x²-x-5

a)

Ce que tu donnes n'est pas possible . C'est :

h(x)=(x-1/2)²+a=x²-x+1/4+a

Par identification avec h(x)=x²-x-5 , on a :

1/4+a=-5

a=-5-1/4

a=-21/4

b)

Donc :

h(x)=(x-1/2)²-21/4

h(x)=(x-1/2)²-(√21/2)² ==>seul le "21" est sous la racine . OK ?

On a : a²-b²=(a+b)(a-b) donc :

h(x)=[(x-1/2)²+√21/2][(x-1/2)-√21/2]

h(x)=[x - (1-√21)/2][x - (1+√21)/2]

4)

a)

Donc :

f(x)=(x-1)*[x - (1-√21)/2]*[x - (1+√21)/2]

h(x)=0 donne :

x-1=0 OU x - (1-√21)/2=0 OU x - (1+√21)/2 qui donne :

x=1 OU x=(1-√21)/2 OU x=(1+√21)/2

b)

Tableau de signes :

x------------>-∞...........(1-√21)/2...................1.................(1+√21)/2..................+∞

(x-1)--------->........-...........................-...........0......+.................................+..........

x - (1-√21)/2>.....-.........0...............+....................+..................................+..........

x - (1+√21)/2>....-..........................-.....................-.............0....................+...........

f(x)--------------->...-......0.................+...........0.......-...........0...............+............

Sur ]-∞;(1-√21)/2[ U ]1;(1+√21)/2] : f(x) est < 0.

Sur ](1-√21)/2;1[ U ](1+√21)/2;+∞[ : f(x) est > 0.

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