Bonjour
Comme f est continue et admet un unique zéro sur [tex][x_0;x_1][/tex]
nous pouvons déduire du théorème des valeurs intermédiaires que [tex]f(x_0)[/tex] et [tex]f(x_1)[/tex] sont de signe différent, ce que l'on peut écrire ainsi
[tex]f(x_0)f(x_1) \leq 0[/tex]
Notons aussi que [tex]f(\overline{x})=0[/tex]
1. Ainsi
si
[tex]f(x_0)f(x_2)\leq 0[/tex]
[tex]\overline{x} \in [x_0;x_2][/tex]
si
[tex]f(x_2)f(x_1)\leq 0[/tex]
[tex]\overline{x} \in [x_2;x_1][/tex]
2.
la longueur est
[tex]x_1-x_0[/tex]
3.
la longueur de l'intervalle [tex][x_0;x_2][/tex] est
[tex]x_2-x_0=\dfrac{x_0+x_1}{2}-x_0=\dfrac{x_0+x_1-2x_0}{2}=\dfrac{x_1-x_0}{2}[/tex]
De même la longueur de l 'intevalle [tex][x_2;x_1][/tex] est
[tex]x_1-x_2=x_1-\dfrac{x_0+x_1}{2}=\dfrac{2x_1-x_0-x_1}{2}=\dfrac{x_1-x_0}{2}[/tex]
Les intervalles [tex][x_0;x_2][/tex] et [tex][x_2;x_1][/tex] ont même longueur qui est la moitié de l; intervalle initial
4.
la taille de l'intervalle est multiplié par 1/2 à chaque itérations, donc au bout de n itérations on aura
[tex]\dfrac1{2}*\dfrac{1}{2}*...*\dfrac1{2}=\dfrac1{2^n}[/tex]
donc la taile de l 'intervalle initial sera divisé par [tex]2^n[/tex]
Comme [tex]\dfrac1{2^n}[/tex] tend vers 0 quand n tend vers + l'infini, la suite [tex](x_n)[/tex] converge
Merci
