Réponse :
f(x) = - 2 x² + 90 x - 400 pour x ∈ [15 ; 30]
1) vérifier que 5 et 40 sont des racines du polynôme - 2 x² + 90 x - 400
f(5) = - 2*5² + 90*5 - 400 = - 50 + 450 - 400 = 450 - 450 = 0
f(40) = - 2*40² + 90*40 - 400 = - 3200 + 3600 - 400 = 3600 - 3600 = 0
donc 5 et 40 sont bien des racines du polynôme
2) f(x) = - 2(x - 5)(x - 40)
3) puisque 5 et 40 sont en dehors de l'intervalle [15 ; 30], donc f(x) ≥ 0 sur [15 ; 30]
4) f '(x) = - 4 x + 90 ; f atteint son maximum lorsque f '(x) = 0
⇔ - 4 x + 90 = 0 ⇔ x = 90/4 = 22.5
5) tableau de variation de f
x 15 22.5 30
f(x) f(15)→→→→→→→→→ f(22.5)→→→→→→→→→ f(30)
croissante décroissante
6) le profit est positif lorsque l'entreprise produit entre 1500 et 3000 ventilateurs
le profit est maximum lorsque l'entreprise produit 2300 ventilateurs
Explications étape par étape :