Explications étape par étape:
Bonsoir, ici, l'exercice porte à réflexion, mais il est abordable.
1- Petite astuce : Il s'agit ici, d'un raisonnement par équivalences. Tu peux donc librement commencer par l'équation finale, ou initiale, à condition de fonctionner uniquement avec des équivalences.
On va procéder en 2 étapes, par l'équation finale :
(x-2)(y-2) = 4 équivaut à xy - 2x - 2y + 4 = 4, qui équivaut à xy - 2x -2y = xy - 2(x+y) = 0.
En essayant de continuer, on visualise difficilement comment obtenir l'équation de départ, avec des inverses. Alors, on va essayer de modifier l'équation initiale :
(1/x) + (1/y) = 1/2 équivaut à (x+y) / xy = 1/2.
Produit en croix : 2(x+y) = xy, qui équivaut à xy - 2(x+y) = 0.
Conclusion : Les 2 équations sont finalement, équivalentes. Voilà en quoi réside l'utilité de l'équivalence, tu peux raisonner dans tous les sens, à condition de ne pas dévier de cette propriété.
2- Équation à 2 inconnues, tu peux te dire qu'il est difficile de s'en sortir, mais pas vraiment. L'avantage étant, que x et y sont des entiers naturels non nuls. Il faut donc dénombrer, les produits de 2 chiffres qui permettent d'obtenir 4. Tu as : 4 = 1*4 = 4*1 = 2*2, 3 possibilités.
3 couples solutions, au vu de cette configuration :
(x-2) = 1 et (y-2) = 4, qui fournit x = 3, et y = 6.
(x-2) = 4 et (y-2) = 1, qui fournit x = 6 et y = 3.
(x-2) = 2 et (y-2) = 2, qui fournit x = 4 et y = 4.
Bonne soirée
