Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Exo 1 :
1)
f '(x)=6x+(4/2√x)=6x+(2/√x)
2)
De la forme u*v :
u=-3x²+4x donc u'=6x+4
v=x-1 donc v '=1
f '(x)=u'v+uv'=(6x+4)(x-1)-3x²+4x=....tu arranges ça.
3)
f(x)=-4/(1+exp(1-2x)
La dérivée de -4/u est -(-4u')/u² soit 4u'/u².
Ici u=1+exp(1-2x) qui donne u'=-2exp(1-2x)
Donc :
f '(x)=-8*exp(1-2x)/[1+exp(1-2x)]²
4)
La dérivée de ln(u) est u'*1/u.
Ici :
u=ln(x-3) donc u'=1
f '(x)=1 - 4/(x-3)=(x-3-4)/(x-3)=(x-7) / (x-3)
Exo 2 :
1)
C '(x)=3x²-20x+50
qui est < 0 entre les racines , sinon > 0
Δ=b²-4ac=(-20)²-4(3)(50)=-200 < 0
Pas de racines donc C '(x) > 0 donc C(x) strictement croissante pour tout x > 0.
2)
a)
B(x)=300x-(x³-10x²+50x)
B(x)=-x³+10x²+250x
b)
-x³+10x²+250x=0
x(-x²+10x+250)=0
1ère racine : x=0
On va donc résoudre :
-x²+10x+250=0
Δ=10²-4(-1)(250)=1100
La racine négative :
x=(-10+√1100)/-2 ≈ -11.6
La racine positive est :
x=(-10-√1100)/-2 ≈ 21.6
3)
a)
B '(x)=-3x²+20x+250
qui est > 0 entre ses racines.
Δ=20²-4(-3)(250)=3400
x1=(-20+√3400)/-6 ≈ -6.4
x2=(-20-√3400)/-6 ≈ 13
b)
Variation de B(x) :
x------->0..................13..............20
B '(x)--->........+...........0......-..........
B(x)----->........C.........?........D.......
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
Donc B(x) max pour x=13 et vaut B(13)=2743 €.
4)
...rentable si et seulement si la production est comprise entre 1 et 21 appareils produits.
B(x) max pour x=13 et vaut B(13)=2743 €.
Voir graph joint.
