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bonjours j’ai un dm à rendre pouvez vous m’aidez sur cette unique question svp ?

On considère la fonction f définie sur R par: f(x) = x3 – 3x – 1

Dans la suite de l'exercice, on admettra que l'équation f(x) = 0 possède une unique solution a dans
l'intervalle [1:2]. Nous ne pourrons pas trouver la valeur exacte de a, car l'équation f(x) = 0 est une
équation de degré 3 que nous ne savons pas résoudre. L'objectif de cet exercice est de présenter une
méthode permettant de déterminer de bonnes approximations de a. Il s'agit de la méthode de Newton.
L'idée de cette méthode est de considérer des tangentes à la courbe de cette fonction.
3) Dans l'immédiat, déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de a à 10-6.
Remarque : les techniques sont nombreuses et dépendent des modèles de calculatrices. Notez que,
sur la Numworks, le menu principal propose une entrée « Equations ». Cela semble adapté, non ?

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ X³ - 3X - 1  = 0 donne 3 solutions :

  X1 ≈ 1,87938524

  X2 ≈ -0,34729636

  X3 ≈ -1,53208889

  on s' intéresse à la seule solution positive !

■ la précision demandée à 10^(-6) donne :

   X1 ≈ 1,879385 .

■ tableau sur l' intervalle [ 1 ; 2 ] :

  x -->   1          1,5         1,8         1,85      1,88       1,9      2

f(x) -->  -3     -2,125   -0,568    -0,218   0,005   0,159    1

  on sent bien que 1,87 < X1 < 1,88 .  

■ dérivée f ' (x) = 3x² - 3 = 3 (x-1) (x+1)

   cette dérivée est nulle pour x = -1 ou x = +1

                                 ( négative pour -1 < x < +1 )

   la fonction f est toujours croissante pour x > 1

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