Bonjour,
1. f est une fonction dérivable sur IR car c'est une fonction polynomiale (et que nous savons du cours que ces fonctions sont dérivable sur IR)
pour x dans IR
[tex]f'(x)=2x+3[/tex]
La dérivée s'annule pour x tel que 2x+3=0 soit x = -3/2
pour x > -3/2 l'expression est positive, donc f est croissante
et pour x < -3/2 l'expression est négative, donc f est décroissante
la limite de f en plus l'infini est plus l'infini
la limite de f en moins l'infini est plus l'infini
f(-3/2)=9/4-9/2+1=(9-18+4)/4=-5/4
Nous pouvons dresser le tableau de variation
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&-3/2&&+\infty\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&&-&0&+&&\\---&---&---&---&---&---\\f(x)&+\infty&\searrow&-5/4&\nearrow&+\infty&\\---&---&---&---&---&---\end{array}\right|[/tex]
2.
g est bien définie sur son domaine de définition car x+2 ne s'annule que en -2. Donc pour tout réel x différent de -2 le quotient a du sens et nous pouvons écrire
[tex]g(x)=\dfrac{-1}{x+2}[/tex]
g est dérivable sur son domaine de définition et
[tex]g'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}\geq 0[/tex]
donc g est croissante sur [tex]]-\infty;-2[[/tex]
et croissante sur [tex]]-2:+\infty[[/tex]
les limites de f en +/- l'infini sont 0
et quand x tend vers -2 par valeurs inférieures f(x) tend vers + l'infini
et quand x tend vers -2 par valeurs supérieures f(x) tend vers - l'infini
D'où le tableau de variations
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&-2&&+\infty\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&&+&||&+&&\\---&---&---&---&---&---\\f(x)&0&\nearrow +\infty&||&-\infty\nearrow&0&\\---&---&---&---&---&---\end{array}\right|[/tex]
3.
a. Soit x réel différent de -2
[tex]f(x)-g(x)=x^2+3x+1+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x^3+2x^2+3x^2+6x+x+2+1}{x+2}\\\\=\dfrac{x^3+5x^2+7x+3}{x+2}\\\\or\\\\(x+1)^2(x+3)=(x^2+2x+1)(x+3)=x^2+5x^2+7x+3[/tex]
D'où le résultat
b.
Comme un carré est toujours positif le signe de h(x) est la même que le signe de
[tex]\dfrac{x+3}{x+2}[/tex]
pour x <-3, x+3<0 et x+2<0 donc h(x)>0
pour x >-3 et x <-2, x+3>0 et x+2<0 donc h(x)<0
pour x >-2, x+3>0 et x+2>0 donc h(x)>0
c
Cf est au dessus de Cg pour x <-3 et pour x>-2
Cf est au dessous de Cg pour x >-3 et x <-2
4. f(x)=g(x) pour h(x)=0 donc pour x=-1 ou x=-3
f'(-3)=-6+3=-3
g'(-3)=1
ce n'est pas égal
f'(-1)=-2+3=1
g'(-1)=1
C'est égal, f'(-1)=g'(-1)
Donc les courbes Cf et Cg admettent une tangente commune au point (-1, -1)
et cette tangente a pour équation y=x, en effent
y=f'(-1) (x-(-1))+f(-1)=x+1-1=x
Merci