Réponse :
1) ABC triangle rectangle en B ⇒ th.Pythagore
on a; AC² = AB² + BC² = 8² + 6² = 100 ⇒ AC = √100 = 10 cm
2) exprimer chacun des vecteurs AC et AI en fonction des vecteurs
AB et AD et en déduire que vec(AC).vec(AI) = 68
vec(AC) = vec(AB) + vec(BC) relation de Chasles
ABCD est un rectangle donc vec(BC) = vec(AD)
donc vec(AC) = vec(AB) + vec(AD)
vec(AI) = vec(AC) + vec(CI) relation de Chasles
= vec(AB) + vec(AD) + 1/2vec(CD) or vec(CD) = - vec(DC)
= vec(AB) + vec(AD) - 1/2vec(DC) or vec(DC) = vec(AB)
= vec(AB) + vec(AD) - 1/2vec(AB)
= 1/2vec(AB) + vec(AD)
donc vec(AI) = 1/2vec(AB) + vec(AD)
en déduire que vec(AC).vec(AI) = 68
vec(AC).vec(AI) = (vec(AB) + vec(AD))(1/2vec(AB) + vec(AD))
= 1/2) AB² + vec(AB).vec(AD) + 1/2(vec(AD).vec(AB)) + AD²
= 1/2) AB² + 0 + 0 + AD²
= 1/2) * 8² + 6²
= 68
3) calculer la longueur AH
H est le projeté orthogonal de I sur (AC)
donc vec(AC).vec(AI) = vec(AC).vec(AH) = AC x AH
les vecteurs AC et AH sont colinéaires de même sens
donc AC x AH = 68 ⇒ AH = 68/AC = 68/10 = 6.8 cm
Explications étape par étape :
