Bjr
1.a
Pour les valeurs de t où la fonction f est définie, f(t) est non nulle et
[tex]f(t)=\dfrac{1}{v(t)-6}[/tex]
ce qui donne
[tex]v(t)-6=\dfrac{1}{f(t)}\\\\v(t)=6+\dfrac1{f(t)}[/tex]
1.b
[tex]v^2(t)=(6+\dfrac1{f(t)})^2=36+\dfrac{12}{f(t)}+\dfrac1{f^2(t)}[/tex]
1.c
[tex]v'(t)=-\dfrac{f'(t)}{f^2(t)}[/tex]
1.d donc l'équation différentielle en v devient
[tex]-\dfrac{f'(t)}{f^2(t)}+\dfrac{g}{36}\left( 36+\dfrac{12}{f(t)}+\dfrac1{f^2(t)}\right)=g\\\\ < = > \\\\-f'(t)+\dfrac{12gf(t)}{36}+\dfrac{g}{36}=0\\\\ < = > \\\\f'(t)=\dfrac{g}{3}f(t)+\dfrac{g}{36}[/tex]
f est donc solution sur IR+ de (E)
2.a avec k un réel quelconque les solutions sont de la forme
[tex]f(t)=exp(\dfrac{g}{3}t)+\dfrac{g}{36}t+k[/tex]
2.b pour t=0 v(0)=66 donc f(0)=1\60
et comme
[tex]f(0)=1+k\\\\k=\dfrac{1}{60}-1=-\dfrac{59}{60}[/tex]
3.c
[tex]v(t)=6+\dfrac1{f(t)}=6+\dfrac1{exp(\dfrac{g}{3}t)+\dfrac{g}{36}t-\dfrac{59}{60}}[/tex]
3. la limite de v(t) quand t tend vers plus l'infini est donc 6 (car la limite de f est plus l'infini)
le parachutiste va se retrouver dans une chute constante à 6m/s. C'est à cette vitesse qu'il va arriver sur le sol.
Merci
