Bonjour,
1.
I est le milieu de [AB] ⇔ AI = IB = ½ AB (vecteurs)
MA . MB = (MI + IA)(MI + IB)
⇔ MA . MB = MI² + MI . (IA+IB) + IA . IB
⇔ MA . MB = MI² - AI . IB
⇔ MA . MB = MI² - AI²
⇔ MA . MB = MI² - (½ AB)²
⇔ MA . MB = MI² - 1/4 . AB²
⇔ MA . MB = MI² - 16/4
⇔ MA . MB = MI² - 4
2. Pour k = -7, on a:
MI² - 4 = MA . MB = -7
Soit MI² = -3
Aucun point ne permet de vérifier cette égalité.
Pour k = -4:
MI² - 4 = -4 soit MI² = 0
M = I
L'ensemble des point M est donc le singleton {I}
Pour k = 0:
MI² - 4 = 0 ⇔ MI² = 4 ⇔ MI = 2
L'ensemble des point M est donc le cercle de centre I est de rayon 2
Pour k = 5
Je vous laisse faire (comme pour k = 0 mais rayon différent)
3.
Si k < - 4 alors Lk = ∅
Si k = -4 alors [tex]L_{-4}[/tex] = {I}
Si k > -4 alors Lk = C(I ; √(k+4))
C(I ; √(k+4)) est le cercle de centre I est de rayon √(k+4)
4. ABC est équilatéral donc ICA = 30° et cos(ICA) = IC/AC
soit IC = AC . cos(30°) = AB . √3 / 2 = 2√3
C ∈ Lk ⇔ √(k+4) = 2√3 ⇔ k + 4 = 12 ⇔ k = 8
