Bonjour Margot,
[tex]f(x) = x^{2} + 3x +2[/tex]
1.a) [tex]A(x_{A}, y_{A} )[/tex] est le point d'abscisse [tex]x_{A} = 0[/tex].
[tex]y_{A} = f(x_{A} ) = f(0) = 0^{2} + 3*0 + 2 = 2[/tex]
Ainsi, A(0,2).
1.b)
Rappel : le coefficient directeur d'une tangente en un point est la valeur de la dérivée en ce point.
La dérivée de f (x) est :
[tex]f ' (x) = 2x + 3[/tex]
On a : [tex]f ' (x_{A} ) = f ' (0) = 2*0 + 3 = 3[/tex]
2. Les points d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont les points tels que : [tex]f (x) = 0[/tex]
[tex]f(x) = 0[/tex] ⇔ [tex]x^{2} + 3x +2 = 0[/tex]
Δ [tex]= b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4*1*2 = 1[/tex]
Δ > 0, donc Δ a deux racines distinctes, qui sont solutions de f(x) = 0 :
[tex]x_{1} = \frac{-b-\sqrt{delta} }{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1} }{2*1} = -2[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1} }{2*1} = -1[/tex]
Les points F(-2,0) et G(-1,0) sont les points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
3.
[tex]f'(-1) = 2*(-1) + 3 = 1[/tex]
Rappel : La tangente de C en un point a à pour équation :
[tex]y = f'(a)(x-a) + f(a)[/tex]
Ici, a = -1,
[tex]y = f'(-1)(x-(-1)) + f(-1)[/tex]
Or,
[tex]f'(-1) = 1\\f(-1) = 0[/tex]
(car x = -1 est solution de f(x) = 0; retrouvable par le calcul directe de f(-1))
Ainsi,
[tex]y = 1*(x+1) +0\\y = x+ 1[/tex]
pour les questions sur la représentation graphique, voir la pièce jointe.
4.a) Tu peux placer les points : A(0,2) , F(-2,0), G(-1,0)
4.b)
Tu peux tracer la tangente de C en A : c'est une droite passant par A(0,2) et de coefficient directeur 3 ( [tex]f'(0) = 3[/tex] d'après 1.b)
(pour un déplacement d'un carreau sur l'axe des abscisses, on "monte" de 3 carreaux sur l'axe des ordonnées)
Tu peux aussi tracer la tangente de C en -1 : c'est une droite passant par le point G(-1,0), de coefficient directeur 1 et d'ordonnée à l'origine 1
([tex]y = x + 1[/tex] ).
4.c) Pour tracer C :
f est une fonction du 2nd degré, donc C est une parabole. Ici, C est une parabole tournée vers le haut ∪ car a = 1 > 0).
Cette parabole passe par les points A,F,G. Les tangentes en -1 et 0 te donnent l'allure (variation de croissance) au voisinage de -1 et 0.
Bonne journée
