Bonsoir,
PARTIE 1
f(t) = -0,6t² + 21t
1.a) Pour étudier les variations on peut utiliser deux méthodes :
Méthode 1 : étude de la dérivée
f ' (t) = -1,2t + 21
f ' change de signe en -1,2t + 21 = 0 ⇔ -1,2t = -21 ⇔ t = [tex]\frac{-21}{-1.2}[/tex] = 17,5 s
On obtient le tableau de signes et de variations suivant :
[tex]\left[\begin{array}{cccc}t&0&17,5&+inf\\ f'(t)&+&0&-\\f (t)&croissante&&decroissante\end{array}\right][/tex]
Méthode 2 : étude de la fonction
La courbe représentative de f(t) est une parabole, tournée vers le bas
(a = -0,6 < 0). Elle admet un maximum en [tex]t = - \frac{b}{2a} = - \frac{21}{2*(-0,6)} = 17,5 s[/tex] .
Ainsi, la fonction est croissante sur [0 ; 17,5],
puis décroissante sur [17,5 ; +∞[ .
1.b) Le sommet de la parabole est atteint en t = 17,5s.
A cet instant, la fusée est à sa hauteur maximale.
1.c) La fusée retombe au sol ⇔ f (t) = 0
⇔ -0,6t² + 21t = 0
Δ = b² - 4ac = 21² - 4*(-0,6)*0 = 21² (=441)
Δ > 0 , l'équation f(t) = 0 admet deux solutions :
[tex]t_{1} = \frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} = \frac{-21+\sqrt{21^{2} } }{2*(-0,6)} = 0 s\\[/tex]
→ t = 0 correspond à l'instant initial (lancement)
[tex]t_{2} = \frac{-b-\sqrt{delta} }{2a} = \frac{-21-\sqrt{21^{2} } }{2*(-0,6)} = \frac{-42}{-1,2} = 35 s[/tex]
→ La fusée retombe au sol au bout de 35s
PARTIE 2
2.a) La hauteur de la fusée à t = 6s est f(6).
f (6) = -0,6*6² + 21*6 = 104,4 m
2.b) f ' (6) = -1,2*0.6 + 21 = 13,8 m/s
Rappel : f ' (t) est la vitesse de la fusée à l'instant t
(vitesse = dérivée de la position)
On en déduit que la vitesse de la fusée juste avant son explosion est de 13,8 m/s (= 13,8*3,6 = 49,7 km/h) .
PARTIE 3
3.a) On conjecture que la vitesse sera nulle au moment de l'explosion (la fusée s'apprête à retomber).
3.b) Nous avons montré dans 1.b) que la hauteur maximale est atteinte en t = 17,5s
f ' (17,5) = -1.2 * 17,5 + 21 = 0 m/s
J'espère que ces éléments de réponse te conviendront. N'hésite pas à poser des questions sur les parties qui restent incomprises.
A noter que j'ai utilisé un raisonnement physique pour résoudre le problème (équations horaires du mouvement et de la vitesse), j'espère que cela reste clair mathématiquement parlant.
Bonne fin de soirée.
