Bonsoir,
On a : x >0 , y >0
On cherche à isoler x. On va pour cela multiplier par des quantités qui seront toujours positives (= pas de changement de signe)
[tex]\frac{x}{y} < \frac{2x+3y}{3x+2y} \\[/tex]
⇔ [tex]\frac{x}{y} * (3x+2y) < 2x + 3y[/tex] , car 3x + 2y > 0 (pas de changement de signe)
⇔ [tex]\frac{x}{y} * (3x + 2y) - 2x < 3y\\[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x^{2} + 2xy}{y} - 2x < 3y[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} + \frac{2xy}{y} - 2x < 3y[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} + 2x - 2x < 3y[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} < 3y[/tex]
⇔ [tex]3x^{2} < 3y^{2}[/tex] , car y > 0
⇔ [tex]x^{2} < y^{2}[/tex]
⇒ [tex]x < y[/tex] , car x>0, y>0
et la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Attention, [tex]x^{2} < y^{2}[/tex] ⇒ [tex]x < y[/tex] n'est pas vrai pour des x,y négatifs
exemple : (-3)² = 9 < (-5)² = 25 n'implique pas -3 < -5
Bonne fin de soirée
