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Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît. Merci à vous !!!

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. On considère le point A de coordonnées (1; -2). Déterminer une équation du cercle de centre A et de rayon 3.

2. On considère les points B et C de coordonnées respectives (-1; 1) et (2; 3). Déterminer une équation du cercle de centre B passant par le point C.

3. On considère les points D et E de coordonnées respectives (-2; -1) et (3; 3). Déterminer une équation du cercle de diamètre [DE].
4. On considère le cercle C d'équation (x - 1)2 + (y + 4)2 = 65.

a. Quel est le diamètre du cercle C?

b. Le point F de coordonnées (5; 3) appartient-il au cercle C?

c. Déterminer les coordonnées des points d'intersections du cercle C avec les axes du repère.

5. Déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle dont une équation est : - x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0​

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Il faut absolument savoir que l'équation d'un cercle de centre A(a;b) et de rayon "r" est donnée par :

(x-a)²+(y-b)²=r²

Ici , ça donne :

(x-1)²+(y+2)²=9

On développe et ramène tout à gauche. A la fin tu trouves :

x²+y²-2x+4y-4=0.

2)

Il nous faut la mesure de BC².

BC²=(2-(-1))²+(3-1)²=13

(x+1)²+(y-1)²=13

On développe et ramène tout à gauche. A la fin tu trouves :

x²+y²-2x-2y-11=0

3)

Soit M le milieu de [DE].

xM=(-2+3)/2=1/2

yM=(-1+3)/2=1

Donc :

M(1/2;1)

Rayon²= ME²=(3-1/2)²+(3-1)²=(5/2)²+2²=25/4+16/4=41/4

Equation du cercle de diamètre [DE] :

(x-1/2)²+(y-1)²=41/4

A la fin :

x²+y²-x-2y-9=0

4)

L'équation de ce cercle est donc :

(x-1)²+(y-(-4))²=(√65)²

a)

Son rayon est √65 donc son diamètre mesure : 2√65.

b)

Son centre est N(1;-4).

Calculons la mesure NF² avec F(5;3)  :

NF²=(5-1)²+(3-(-4))²=16+49=65

Donc F est bien sur ce cercle C.

c)

On part de :

(x - 1)² + (y + 4)² = 65

x=0 donne :

(y+4)²=65

y+4=-√65 ou y+4=√65

y=-√65-4 ou y=√65-4

Intersections avec axe des y : (0;-√65-4) et (0;√65-4)

y=0 donne :

(x-1)²=65

x-1=-√65 ou x-1=√65

Intersections avec axe des x : (-√65+1;0) et (√65+1;0)

5)

-x²+y²-2x+4y-11=0

Tu n'as pas fait une faute de frappe ? Ce n'est pas plutôt :

x²+y²-2x+4y-11=0 ??

Si oui , ça donne :

x²-2x+y²+4y-11=0 , ce qui donne :

(x-1)²-1 +(y+2)²-4-11=0 soit :

(x-1)²+(y-(-2))²=16  ==>16=4²

Centre (1;-2) et rayon 4.

Voir les cercles sauf celui de la 5) dans la figure jointe.

View image Bernie76

Réponse :

Hello !

Une méthode alternative pour la question 3 : le point M(x, y) appartient au cercle de diamètre [DE], si et seulement si le triangle DEM est rectangle en M. Autrement dit, vectoriellement, si les vecteurs DM et EM sont orthogonaux.

DM(x+2, y+1) et EM(x-3, y-3).

L'équation s'écrit :

(x+2)(x-3) + (y+1)(x-3) = 0

Ensuite tu peux développer, faire des formes canoniques, etc.

Explications étape par étape :

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