Réponse :
déterminer les extrema de la fonction
f: x → 1/20) x⁴ - 3/10) x² + 2/5) x + 7
f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est
f '(x) = 1/5) x³ - 3/5) x + 2/5
on écrit f '(x) = 0 ⇔ 1/5) x³ - 3/5) x + 2/5 = 0 ⇔ 1/5(x³ - 3 x + 2) = 0
⇔ x³ - 3 x + 2 = 0
x = 1 racine évidente
(x - 1)(a x² + b x + c) = a x³ + (b-a) x² + (c-b) x - c
a = 1
b-a = 0 ⇔ b = a ⇒ b = 1
- c = 2 ⇔ c = - 2
f '(x) = 1/5(x - 1)(x² + x - 2) = 0
Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
x1 = - 1 + 3)/2 = 1
x2 = - 1 - 3)/2 = - 2
f '(x) = 1/5(x - 1)²(x + 2) or (x - 1)² ≥ 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de x + 2
signe de f '(x)
x - ∞ - 2 + ∞
f '(x) - 0 +
f(x) + ∞→→→→→→→→→→f(-2) →→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
la fonction f admet un minimum f(-2) atteint en x = - 2
Explications étape par étape :