Ex 56 :
a)
[tex]\left \{ {{u_{0} =2} \atop {u_{n+1} =u_{n} - 4} } \right.[/tex]
On remarque la forme par récurrence d'une suite arithmétique. En effet, on a :
[tex]u_{n+1} = u_{n} + r \ avec \ r = -4[/tex]
La suite ([tex]u_n[/tex]) est donc une suite arithmétique de raison -4 et de premier terme 2.
b)
[tex]v_n = -n + 3[/tex]
On étudie la différence [tex]v_{n+1} - v_n[/tex] :
[tex]v_{n+1} - v_n = -(n+1) + 3 - (-n + 3)[/tex]
[tex]= -n -1+3+n-3\\= -1[/tex]
On remarque que la différence est constante et vaut -1. Ainsi, ([tex]v_n[/tex]) est bien une suite arithmétique de raison -1 et de premier terme [tex]v_0 = -0 + 3 = 3[/tex].
c)
Il semblerait que la suite ne soit pas arithmétique étant donné que, dans la forme explicite, [tex]n[/tex] est élevé au carré.
Ainsi pour le prouver, on calcule les premiers termes et on observe si, à chaque fois, on ajoute la même valeur ou non.
[tex]w_0 = 0^{2} - 3 = -3\\w_1 = 1^2 - 3 = -2\\w_2 = 2^2 - 3 = 1 \\w_3 = 3^2 - 3 = 6[/tex]
On remarque que [tex]w_3 - w_2 \neq w_2 - w_1[/tex] : on n'ajoute pas tout le temps la même valeur (définition d'une suite arithmétique)
En effet,
[tex]6-1 = 5 \ et \ 5 \neq 1-(-2) = 3[/tex]
Pour conclure, la suite [tex](w_n)[/tex] n'est pas une suite arithmétique.
Ex 57 :
Pour montrer que [tex](u_n)[/tex] est une suite arithmétique, on fait comme pour l'exercice précédent, on étudie la différence [tex]u_{n+1} - u_n[/tex] :
[tex]u_{n+1} - u_n = [(n+1+1)^2 - (n+1)^2] - [(n+1)^2 - n^2][/tex]
[tex]= (n+2)^2 - (n+1)^2 - [(n+1)^2 - n^2][/tex]
[tex]= n^2 + 4n + 4 - (n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 2n +1 - n^2)\\= n^2 + 4n + 4 - n^2 - 2n - 1 - n^2 - 2n - 1 + n^2 \ (les\ n^2 \ se \ simplifient) \\ = 4n + 4 - 2n - 1 - 2n - 1\\= 4n + 4 - 2n - 2n - 1 - 1 (on \ rearrange \ les \ termes) \\= 4n + 4 -4n -2\\= 4 -2\\= 2[/tex]
Ainsi, la différence est constante, c'est-à-dire que pour chaque terme de la suite, le suivant est égal au précédent en ajoutant 2.
Conclusion : la suite est bien arithmétique ! :)
