Réponse :
Salut !
1. a. Calcule la dérivée de ta fonction :
[tex]f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = -\frac{x}{x+1}[/tex]
Tu sais que cette dérivée est négative et que ta fonction est décroissante sur R. Un tableau de variations est le bienvenu ici.
b. Calcule f(0) et conclus avec les variations de f.
c. Il y a une erreur dans ton énoncé, il faut démontrer que f(x) est plus grand que -x²/2. Autrement ce serait trop facile, il te suffirait d'exploiter le fait que x²/2 est positif pour démontrer ce qui est écrit.
Pour ça tu poses la fonction g(x) = ln(1+x) - x +x²/2 et tu prouves que c'est positif.
d. Tu as donc pour tout x positif,
[tex]x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x) \leq x[/tex]
Normalement si tu t'en sers avec les bonnes variables, ça devrait marcher.
2. Ton t est plus petit que 0,14. Donc tu peux calculer :
[tex]\ln\left[\left(1+\frac{t}{100}\right)^{\frac{70}{t}\right] \approx \frac{70}{t}\cdot \frac{t}{100} = 0{,}7[/tex]
Et comme ln(2) c'est 0,69, tu as multiplié par 2 ton capital.
3. Pareil !
Explications étape par étape :
