Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
B(x) = -x² + 54x - 200
1) B(10) = -10² + 54 x 10 - 200
B(10) = 100 + 540 - 200
B(10) = + 240
pour 10 poupées russes le bénéfice réalisé positif est de 240€
2)
a)
a < 0 donc la parabole est orientée vers le bas (voir courbe de B(x) )
B(x) admet un extremum en x = -b/2a
⇒ x = -54/2 x (-1)
⇒ x = + 27
→→ B est croissante pour tout x ∈ [0 ; 27]
et décroissante pour tout x ∈ [27 ; 60].
B(0) = - 200
B(27) = + 529
B(60) = - 560
tableau de variation ⇒ voir pièce jointe
b)
le bénéfice maximal est atteint en B(x) = 529 pour 27 poupées russes vendues
3)
B(x) = 0 ⇒ on cherche les racines
⇒ Δ = b² - 4ac
⇒ Δ = 54² - 4(-1) x (-200)
⇒ Δ = 2916 - 800
⇒ Δ = 2116
Δ > 0 donc 2 racines
x₁ = -b + √Δ/2a et x₂ = -b - √Δ/2a
- x₂ = -54 - √2116 /-2 = 50
donc B(x) = - (x - 4)(x - 50) soit B(x) = (4 - x)(x - 50)
⇒ B(x) = 0 pour x = 4 et x = 50
⇒ 4 - x < 0 pour x > 4
⇒ x - 50 < 0 pour x < 50
soit le tableau des signes suivant ⇒ voir pièce jointe
(b)
le bénéfice est positif (ou nul) pour un nombre de poupées russes fabriquées et vendues compris entre[4 ; 50]
la poduction de poupées russes sera donc rentabiliséesi l'usine fabrique et vend entre 5 et 49 poupées ( pour 4 et 50 le bénéfice = 0)
bonne aprèm
