Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
f(x)=x³+mx²+mx+1
Les tangentes à Cf sont // à la droite d'équation y=1 x si leur coefficient directeur =1 donc si f'(x)=1 a des solutions.
f'(x)=3x²+2mx+m
voyons si f'(x)=1 a des solutions en fonctions de m
soit si 3x²+2mx+m-1=0 a des solutions
delta= 4m²-4*3*(m-1)=4m²-12m+12=4(m²-3m+3)
Pour que f'(x)=1 ait deux solutions il faut delta soit>0 donc que m²-3m+3>0
déterminons le signe de m²-3m+3 en fonction de m
Delta'= 9-12=-3
Delta' étant <0 delta est du signe du coef de m² donc toujours>0
voir cours sur le signe du polynôme du second degré (ax²+bx+c)en fonction des racines et du signe de a
Conclusion: quelque soit m la fonction f(x) admet deux tangentes ayant un coefficient directeur égal à 1; donc deux tangentes // à la droite d'équation y=x.
