Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = (1 + Lnx) / x² sur IR+* = IR+ - { 0 }
■ Lim f(x) pour x tendant vers 0+ :
Lim f(x) = Lim Lnx = - ∞ .
■ Lim f(x) pour x tendant vers + ∞ :
Lim f(x) = 0+ .
■ dérivée f ' (x) :
f ' (x) = [ x² * (1/x) - (1 + Lnx) * (2x) ] / (x^4)
= [ x - 2x - 2x Lnx ] / (x^4)
= [ - x - 2x Lnx ] / (x^4)
= [ - 1 - 2 Lnx ] / x³ .
cette dérivée est nulle pour Lnx = -0,5
x = e^(-0,5) ≈ 0,61 .
■ tableau :
x --> 0 e^(-1) 0,61 1 e 10 1000 + ∞
f ' (x) --> ║ + 0 négative
f(x) --> ║- ∞ 0 1,36 1 0,27 0,03 0,000008 0+
■ point d' intersection UNIQUE avec l' axe des abscisses :
il suffit de résoudre Lnx = -1
x = e^(-1) ≈ 0,37 .
Le point d' intersection est donc J ( e^(-1) ; 0 ) .
■ conclusion :
f(x) est strictement POSITIVE pour x > e^(-1) .
f(x) est strictement négative pour x ∈ ] 0 ; e^(-1) [ .
