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Help !!!

Bonjour, il y a cet exercice dans mon DM de maths et je n'y arrive pas du tout.

Le carbone 14, noté 14C, est un isotope radioactif de l'atome de carbone, dont l'isotope le plus fréquent est le carbone 12 (12C). Un orga- nisme contient de son vivant la même proportion de carbone 14 que son atmosphère environnante puis, à sa mort, en perd par désintégration. On appelle « période » (ou demi-vie) d'un élément radioactif le temps nécessaire pour que sa proportion diminue de moitié ; celle du carbone 14 est environ de 5 600 ans.

On peut alors se servir de la proportion de carbone 14 restant dans l'organisme pour en dater la mort. Cette datation est donc adaptée à des restes organiques très anciens, en particulier datant de la préhistoire.
Pour tout nombre entier naturel n, on note Pn la proportion de 140 dans un organisme après n périodes.

1. a. Donner l'expression de Pn+1 en fonction de Pn.

b. En déduire la nature de la suite (Pn), puis l'expression de Pn en fonction de n, en prenant Po = 100 %.

2. a. Une fougère s'est fossilisée il y a environ 600 000 ans ; quelle est la proportion de 14C restante ?

b. Un squelette de mammouth est retrouvé prisonnier dans la glace. Sa proportion de 14C est d'environ 0,2 %. Estimer l'âge de ce mammouth.​​

Sagot :

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Réponse :

Explications étape par étape :

■ Po = 100% à la date t = 0

   Pn+1 = 0,5 * Pn

   P1 = 50% à la date t = 5600 ans

   P2 = 25% à la date t = 11200 ans

   ...

■ la suite (Pn) est géométrique de raison q = 0,5

   et de terme initial Po = 100% .

   Pn = Po * (0,5)^n = (0,5)^n * 100%

■ Fougère de 600ooo ans :

   600ooo / 5600 = 107,1 périodes

   donc P1o7 = (0,5)^(107) * 100%

                     ≈ 6,2x10^(-33) * 100%

                     ≈ 6,2x10^(-31) % .

    Le Carbone 14 sera difficile à déceler ! ☺

■ Mammouth :

  on doit résoudre :

  (0,5)^n * 100% = 0,2%

        (0,5)^n       = 0,002

                 n       = Ln0,002 / Ln0,5

                 n       ≈ 8,966 périodes ( on retient 9 périodes )

   âge du Mammouth = 9 * 5600 ans = 50400 ans !!

    ( arrondir à 50ooo ans n' est pas idiot ! ☺ )

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