Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
"Juste la question allegro" : c'est faire tout le pb !!
1)
Rayon du récipient = 9 cm
Hauteur bille et eau = 18 cm
Volume eau + bille=V total=π x 9² x 18=1458π
Volume eau seule = V total- V bille
Volume eau seule =1458π - (4/3)π x 9³=1458π -972π=486π
V deuxième bille=(4/3) x π x r³
V total=486π + (4/3)π x r³
Il faut que l'eau soit tangente à la bille .
Hauteur eau + bille=2r
V total=π x 9² x 2r=162π x r
On a donc l'équation :
486π + (4/3)π x r³=162π x r
(4/3)π x r³ -162π x r+486π=0
On multiplie chaque terme par 3 et on divise chacun par π :
4r³-486r+1458=0
2)
f(r)=4r³-486r+1458
f '(r)=12r²-486
f '(r) est < 0 entre ses racines.
12r²-486=0
r²=40.5
r=-√40.5 ou r=√40.5 ≈ 6.4 cm
r------>0...........................√40.5................9
f '(r)-->..............-................0...........+...........
f (r)--->1458...........D.......≈-604....C......0
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
3)
Sur [0;√40.5] , la fct f(r) est continue et strictement décroissante passant d'une valeur positive pour r=0 à une valeur négative pour r=√40.9. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.
Sur [√40.5;9] , la fct f(r) est continue et strictement croissante passant d'une valeur négative pour r=√40.5 à la valeur zéro pour r=9.Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , r=9 sera la seule valeur qui annule f(r) dans cet intervalle.
4)
On a donc r=9 comme solution d'une part.
D'autre part , la calculatrice donne :
r ≈ 3.3 ( en cm , arrondi au 1/10e)
car f(3.29) ≈ 1.5052 et f(3.3) ≈ -2.052
Voir graph joint.
