Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
Exercice n°1
→ Pour montrer qu'un triangle est rectangle en un point, il faut montrer que son hypoténuse au carré est égale à la somme des deux côtés chacun au carré. On spécifie que ce point est A, donc que l'hypoténuse est BC.
Autrement dit :
[tex]BC^2 = AB^2 + AC^2[/tex]
[tex]17^2 = 8^2 + 15^2[/tex]
[tex]289 = 64 + 225[/tex]
[tex]289 = 289[/tex]
Donc ABC est bien rectangle en A.
→ On rappelle la formule de l'aire d'un triangle, telle que : [tex]A_t = \frac{b \cdot h }{2}[/tex].
On peut d'ailleurs la retrouver via la formule de l'aire d'un carré, car un triangle est la moitié d'un carré, puis l'aire d'un carré : A = c*c.
On aura donc :
[tex]A_t = \frac{8*15}{2}[/tex]
[tex]= 60[/tex]
→ Sachant que le périmètre du triangle ABC est [tex]P_t = 8 + 15 + 17 = 40[/tex], alors [tex]p = 20[/tex] est avec adaptation, on a :
[tex]A = \sqrt{20(20 - 8)(20 - 15)(20 - 17)}[/tex]
[tex]= \sqrt{20\cdot 12 \cdot 5 \cdot 3}[/tex]
[tex]= \sqrt{3600}[/tex]
[tex]= 60[/tex]
→ On considère un triangle équilatéral de côté [tex]c[/tex] et de périmètre [tex]3c[/tex]. En adaptant avec la formule de Héron, on aura :
[tex]A = \sqrt{\frac{3}{2}c(\frac{3}{2}c - c)^3 }[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{3}{2}c[c^3(- 1 + \frac{9}{2} - \frac{27}{4} + \frac{27}{8})]}[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{3}{2}c^4\cdot\frac{1}{8} }[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{3}{16}c^4 }[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{3}{16} } \sqrt{c^4}[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{16} }c^2[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{3} }{4}c^2[/tex]
→ [tex]A = \frac{\sqrt{3} }{4}\cdot 1,25^2[/tex]
[tex]A =\frac{\sqrt{3} }{4}\cdot 1,5625[/tex]
[tex]A = 0,6765 \ m[/tex]
