Réponse :
je te joins ce que j'ai fait.
Explications étape par étape :
a)Le vec n(2; 1; 2) est normal au plan (B,C,D) s'il est perpendiculaires à deux vecteurs (ou deux droites) sécant(e)s du plan. Vérifions que les vecBC et vecBD ne sont pas colinéaires et que vec n est perpendiculaire à vecBC et vecBD
vecBC(-4; +4; 2) vecBD(0;4; -2) ils ne sont pas colinéaires.
sachant que n(2; 1; 2)calculons les produits scalaires
vec n*vecBC=-4*2+4*1+2*2=-8+8=0 donc vec n perpendiculaire (BC)
de même vec n*vecBD=0*2+4*1+2*(-2)=4-4=0
vec n est un vecteur normal du plan (B, C, D)
b) Equation du plan (B,C,D)
2x+y+2z+c=0
ce plan passe par B donc 2(4)-1+2(0)+c=0 don c=-7
équation du plan (B,C,D) 2x+y+2z-7=0.
c) je remplace (delta) par (d)
Si (d) est orthogonale au plan (B,C,D) ,le vecteur n(2; 1; 2) est un vecteur directeur pour (d)
cette droite (d) passe par A(2; 1; 4) son équation paramétrique est
x=2+2t
y=1+t
z=4+2t
d)I étant l'intersection de (d) et (B,C,D) on peut écrire
2(2+2t)+1(1+t)+2(4+2t)-7=0 soit 9t+6=0 donc t=-2/3
coordonnées de I
xI=2-2(2/3)=2/3 yI=1-2/3=1/3 et zI=4+2(-2/3)=8/3
donc I(2/3; 1/3; 8/3)
4)Aire du tétraèdre ABCD: on connaît l'aire de la base BCD=12cm², calcule la hauteur AI puis le volume V=(1/3)*12*AI =4AI (je te laisse les calculs)