Bonsoir,
Notons P(n) la propriété "[tex]u_{n} =\frac{2^{n} +2}{2^{n} -2}[/tex]"
Hérédité: Supposons P(n)
Alors:
[tex]\begin{aligned}u_{n+1} & =\frac{3u_{n} +1}{u_{n} +3}\\ & =\frac{3\frac{2^{n} +2}{2^{n} -2} +1}{\frac{2^{n} +2}{2^{n} -2} +3}\\ & =\frac{\frac{3*2^{n} +6}{2^{n} -2} +\frac{2^{n} -2}{2^{n} -2}}{\frac{2^{n} +2}{2^{n} -2} +\frac{3*2^{n} -6}{2^{n} -2}}\\ & =\frac{( 3+1) 2^{n} +4}{( 1+3) 2^{n} -4}\\ & =\frac{2^{n+2} +4}{2^{n+2} -4}\\ & =\frac{2^{n+1} +2}{2^{n+1} -2}\end{aligned}[/tex]
Conclusion La récurrence est établie
Je reconnais que le calcul était pas forcément évident, dis moi si une étape est pas claire