Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
f(x) = - 3x² - 6x + 24 = -3 ( x² + 2x - 8)
méthode 1
recherche les valeurs qui annulent f(x)
f(x) = 0 si
-3 ( x² + 2x - 8) = 0
si x² + 2x - 8 = 0
Calcul du discriminant Δ
Δ = b² - 4 ac
avec a = 1 b = 2 et c = - 8
Δ = (2)² - 4 (1)(8)
Δ = 4 + 32
Δ = 36> 0 et √Δ = √36 = 6
donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 admet 2 solutions :
x₁ = ( - b - √Δ) / 2 a et x₂ = ( - b + √Δ) / 2 a
avec a = 1 b = 2 et c = - 8
x₁ = ( - ( 2) - 6 ) /(2(1)) et x₂ = ( - ( 2) + 6 ) /(2(1))
x₁ = ( - 8) /(2) et x₂ = (4)/2
x₁ = - 4 et x₂ = 2
donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 peut s'écrire de la forme a(x - x₁)(x - x₂) = 0
avec a = 1 , x₁ = - 4 et x₂ = 2
donc l'équation x² + 2x - 8 = 0 est équivalente à 1(x + 4) (x -2)
donc f(x) = 0 peut s'écrire de la forme
-3 ( x + 4) (x -2) = 0
Nous déduisons la valeur de m qui est - 4
méthode 2
Nous partons de - 3 (x -2)(x -m) = f(x) = -3 ( x² + 2x - 8)
Nous développons la forme puis par identification des coefficients nous
trouvons la valeur de m
- 3 (x -2)(x -m) = f(x) = -3 ( x² + 2x - 8)
donc - 3 (x -2)(x -m) = -3 ( x² + 2x - 8)
donc (x -2)(x -m) = ( x² + 2x - 8)
donc x² - mx + 2x + 2 m = x² + 2x - 8
donc x² x(-m + 2) + 2 m = x² + 2x - 8
par identification des coefficients ,nous avons
- m - 2 = 2 et 2 m = - 8
donc = m = - 4 et nous vérifions que - m - 2 = 2
donc m = - 4 et - ( -4) - 2 = 4 - 2 = 2
b)
f(x) = - 3x² - 6x + 24 = -3 ( x² + 2x - 8)
les coordonnées du sommet de la parabole sont :
x = - b/2a et y f(-b/2a)
a = 1 b = 2 et c = - 8
x = (-2)/(2(1)) = - 2/2 = - 1
y = f(-b/2a) = f(-1) = - 3( (-1)² + 2(-1) -8) = -3 (1 - 2 - 8) = 27
donc le sommet de la parabole est (-1,27)
c)
Nous déduisons le tableau de variations
tableau de variations de f
x -∞ - 4 - 1 2 +∞
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-3 (x+4) + ⊕ - - -
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x + 2 - - - ⊕ +
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signe de f(x) - ⊕ + + ⊕ -
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f(x) croissante 27 décroissante
sommet