Bonjour, voici la réponse à tes équations :
Avant tout, on rappelle que l'ensemble de définition du logarithme népérien est définit tel que :
[tex]D_{ln} = ] 0 ; + \infty [[/tex]
1. Pour [tex]x\in \mathbb{R}[/tex],
ln[(x - 3)(2x + 1)] existe ssi (x - 3)(2x + 1) > 0
ssi x - 3 > 0 ou 2x + 1 > 0
ssi x > 3 ou x > [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Donc l'ensemble de définition de la fonction ln[(x - 3)(2x + 1)] est :
[tex]D_f = ] 3 ; + \infty [[/tex]
Pour [tex]x\in\ ] 3 ; + \infty [[/tex],
ln[(x - 3)(2x + 1)] = ln(4)
⇔ (x - 3)(2x + 1) = 4
⇔ 2x² - 5x - 3 = 4
⇔ 2x² - 5x - 7 = 0
Δ = b² - 4ac
= 25 - 4*2*(-7)
= 25 + 56
= 81 = 9² > 0
[tex]x_1 = \frac{- b + \sqrt{\Delta} }{2a}\ et\ x_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{7}{2}[/tex]
[tex]\ x_2 = \frac{5 - 9}{4} = - 1[/tex]
Donc les solutions de l'équation sont S = { - 1 ; [tex]\frac{7}{2}[/tex] }
Or, x > 3, donc x = - 1 ne doit pas intervenir.
Donc S = [tex]\frac{7}{2}[/tex]
2. Pour [tex]x\in \mathbb{R}[/tex],
ln(x - 3) + ln(2x + 1) existe ssi x - 3 > 0 et 2x + 1 > 0
ssi x - 3 > 0 ou 2x + 1 > 0
ssi x > 3 ou x > [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Donc l'ensemble de définition de la fonction ln(x - 3) + ln(2x +1) est :
[tex]D_f = ] 3 ; + \infty [[/tex]
Pour [tex]x\in\ ] 3 ; + \infty [[/tex],
ln(x - 3) + ln(2x + 1) = 2ln(2)
# On applique les règles logarithmiques, tel que :
· ln(a) + ln(b) = ln(ab)
⇔ ln[(x - 3)(2x + 1)] = 2ln(2)
⇔ (x - 3)(2x + 1) = 2 × 2
⇔ (x - 3)(2x + 1) = 4
Et on retrouve l'équation du 1, donc c'est la même solution.
En espérant t'avoir aidé au maximum !
