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Exercice 4
L'entreprise SAVEUR fabrique et commercialise de l'extrait de parfum. Elle est en capacité
d'en produire jusqu'à 34 hectolitres par mois. On suppose que toute la production est
vendue.
On modélise le coût de production mensuel, en centaines d'euros, de x hectolitres d'extrait
de parfum par la fonction C définie par C(x) = 2x (au carré)+ 12x + 240, où x € [0;34).
Chaque hectolitre d'extrait de parfum est vendu 80 centaines d'euros.
1. a. Calculer le coût de production mensuel et la recette réalisée par l'entreprise lorsqu'elle
produit 6 hectolitres d'extrait de parfum dans le mois.
b. L'entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu'elle produit et vend 6 hectolitres d'extrait de
parfum par mois ?
2. Démontrer que le bénéfice, en centaines d'euros, pour la vente de x hectolitres d'extrait
de parfum, est donné par la fonction B définie par :
B(x) = -2x(au carré) +68x - 240.
3. Justifier que, pour tout réel x € (0;34), B(x) = (–2x+8)(x - 30).
4. Etudier le signe de B(x), pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 34), et en déduire la
quantité d'extrait de parfum à produire et à vendre pour que l'entreprise ne travaille pas à
perte.
5. Déterminer le montant, en euros, du bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise en
vendant cet extrait de parfum.

Sagot :

Réponse :

Bonjour,

1 ) a .On a C(6) = 2×6

2 +12×6+240 = 72+72+240 = 384, soit 38 400€

La recette est R(6) = 80×40 = 3200, soit 320 000€

b) Comme R(6) > C(6), l’entreprise réalise un profit

2) B(x) = −2x² +68x −240

On a B(x) = R(x)−C(x) = 80x−2x²- 12x - 240 = -2x²+ 68x - 240

3) pour le trinôme B(x), ∆ = 682 −4×2×240 = 4624−1920 = 2704 = 522

Le trinôme a donc deux racines :

x1 =

−68+52

−4

=

−16

−4

= 4 et x2 =

−68−52

−4

=

−120

−4

= 30.

On a donc B(x) = −2(x −4)(x −30) = (−2x +8)(x −30).

4) • sur [0; 4], B(x) < 0;

• sur ]4; 30[, B(x) > 0;

• sur [30; 34], B(x) < 0.

L’entreprise ne travaille pas à perte en produisant entre 4 et 30 hectolitres

5) B est dérivable sur [0; 34] et sur cet intervalle :

B

′

(x) = −4x +68; or B

′

(x) = 0 ⇐⇒ x =

68

4

= 17.

Donc B

′

(17) = 0 et B(17) = 338 est le maximum de la fonction B sur l’intervalle [0; 34], ce

qui correspond à un bénéfice de 33 800 (.

.

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