Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
Voir pièce jointe. Bien sûr : OI=1 car nous avons un cercle trigonométrique.
b)
OI=OM=1 donc le triangle IOM est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux.
Angle OIM=π/3
Donc OIM=IMO=(π-π/3)/2=(2π/3)/2=π/3
Le triangle OIM a ses 3 angles égaux à π/3 : il est donc équilatéral.
c)
Voir pièce jointe.
d)
Dans un triangle équilatéral , la hauteur issue d'un sommet est aussi médiatrice du côté opposé.
Donc M1 est milieu de [OI].
e)
cos π/3=OM1=1/2
f)
Dans le triangle OM1M rectangle en M1 , d'après Pythagore :
OM²=OM1²+MM1²
1²=(1/2)²+MM1²
MM1²=1-1/4
MM1²=3/4
MM1=√3/2 ==>seul 3 est sous la racine.
Or MM1=OM2=sin π/3
Donc :
sin π/3=√3/2
2)
a)
Voir 2ème figure.
b)
On a donc l'angle N1ON qui mesure π/4 , soit 45°. C'est plus facile de raisonner avec 45°.
Le triangle ON1N est rectangle en N1. Donc la somme de ses angles aigus vaut 90°. OK ?
Donc :
^ONN1=90-45=45°
Donc :
Le triangle ONN1 est isocèle en N1 car il a ses angles à la base égaux.
Donc :
N1O=N1N
Pythagore dans ON1N :
ON²=N1O²+N1N²
ON²=N1O² x 2
1²=2N1O²
N1O²=1/2
N1O=√(1/2)
N1O=√1/√2
On multiplie par √2/√2 qui vaut 1 et ne change pas la valeur.
N1O=(√1/√2)(√2/√2)
N1O=√2/2
Mais N1O=cos π/4 et N1N=sin π/4
Donc :
cos π/4=sin π/4=√2/2
