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Bonjour j’aurais besoin d’aide svp : démontrer que le produit de 4 nombre successif et égal à un carré parfait

Sagot :

jpmorin3

bonjour

             Le produit de 4 nombres entiers consécutifs plus 1

                                     est un carré parfait

exemples :

1 x 2 x 3 x 4 + 1  = 24 + 1 = 25  = 5²

2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 120 + 1  = 121  = 11²

3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 18 x 20 + 1 = 360 + 1 = 361  = 19²

cas général

soient 4 entiers consécutifs : n , n+1 ; n +2 ; n +3  

il faut montrer que    

                    (1)    n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1          est un carré

 

  • (n + 1)(n + 2) = n² + 3n + 2

  • n(n + 3) = n² + 3n     d'où    n(n + 3) = (n + 1)(n + 2) - 2

on remplace n(n + 3) par (n + 1)(n + 2) - 2 dans (1)

 (n + 1)(n + 2) [(n + 1)(n + 2) - 2] + 1 =

[(n + 1)(n + 2)]²  - 2[(n + 1)(n + 2] + 1 =

[(n + 1)(n + 2)  - 1]²

c'est le carré de  (n + 1)(n +2) - 1

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