Réponse :
Bonjour,
Cet exercice m'a pris plus de temps que prévu, et je n'ai pas eu le courage d'utiliser des formules pour toutes les équations et les exposants. J'espère que les calculs seront quand même lisibles.
1) [tex]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex] est la distance entre le point O et le point de coordonées (x;y). On peut le montrer en utilisant le théorème de Pythagore.
Les points qui vérifient l'équation de l'énoncé sont donc à une distance de 2 (racine de 4) du point O.
Donc C est un cercle de centre O(0;0) et de rayon 2.
2) D'après le cours, si une droite a un vecteur directeur vecteur(u) de coordonnées (-b;a), elle possède une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.
Un vecteur directeur de (AB) est le vecteur v(AB).
vecteur(AB)=(2-1;(3+a)-3)=(1;a)
Donc une équation cartésienne de (AB) est : ax-y+c=0
Il reste à trouver c.
On sait que A appartient à (AB), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne : a*1 - 3 + c = 0
D'où c = 3 - a.
En conclusion, une équation cartésienne de (AB) est ax-y+(3-a)=0.
3) Les points d'intersections entre C et (AB) ont leurs coordonnée (x;y) qui vérifient le système :
[tex]\left \{ {{x^{2}+y^{2}=4} \atop {ax-y+(3-a)=0}} \right.[/tex]
La 2ème ligne nous donne : y=ax+3-a.
En remplaçant y dans la première ligne et en développant :
x^2 + (ax+3-a)^2 = 4
x^2 + a^2x^2 + 3ax - a^2x + 3ax + 9 - 3a - a^2x - 3a + a^2 = 4
(a^2+1)x^2 + (-2a^2+6a)x + (a^2-6a+5) = 0
Ce qui nous donne une équation du second degré assez complexe que l'on va appeler équation 1.
En résolvant cette équation, on va trouver les abscisses des points d'intersections entre C et (AB). Puis, on utilisera leur abscisse pour trouver leur ordonnée grâce à la 2ème ligne de système.
Il y a donc autant de points d'intersections entre C et (AB) que de solutions à l'équation 1.
Pour savoir combien de solutions cette équation possède, on va calculer son discriminant et regarder son signe :
Δ = b^2 - 4ac = (-2a^2+6a)^2 - 4(a^2+1)(a^2-6a+5)
= 4a^4-24a^3+36a^2 - 4(a^4-6a^3+5a^2 + a^2-6a+5)
= 4a^4-24a^3+36a^2-4a^4+24a^3-24a^2+24a-20
= (4-4)a^4 + (-24+24)a^3 + (36-24)a^2 + 24a - 20
= 12a^2 + 24a - 20
= 4(3a^2 + 6a - 5)
Le signe de Δ est donc identique au signe de (3a^2 + 6a - 5).
Pour connaitre son signe, on va donc résoudre l'équation suivante (où a est l'inconnue) : (3a^2 + 6a - 5) = 0.
Δ' = 36 - 4*3*(-5) = 36+60 = 96
a1 = [tex]\frac{-6-\sqrt{96} }{6}[/tex] = [tex]-1-\frac{2\sqrt{6} }{3}[/tex]
a2 = [tex]-1+\frac{2\sqrt{6} }{3}[/tex]
Le coefficient devant a^2 est 3, et est donc positif, donc :
lorsque a est égal à a1 ou a2, Δ = 0
lorsque a est compris entre les valeurs a1 et a2, Δ < 0
lorsque a est strictement inférieur à a1 ou strictement supérieur à a2, Δ > 0.
Lorsque Δ = 0, l'équation 1 a donc 1 seule solution.
Lorsque Δ > 0, l'équation 1 a 2 solutions.
Lorsque Δ < 0, l'équation 1 n'a pas de solution.
En conclusion :
quand a ∈ ] a1 ; a2 [, C et (AB) n'ont pas de point d'intersection.
quand a = a1 ou a = a2, C et (AB) ont un seul point d'intersection (car la droite (AB) est alors tangente à C).
quand a ∈ ] -∞ ; a1 [ U ] a2 ; +∞ [, C et (AB) ont deux points d'intersections.
Bonne journée,
