Économique
Une entreprise fabrique un produit «Beta». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction C définie sur
10; 15) par:
C(x) = 0,5x² +0,6x+8,16
La représentation graphique r de la fonction coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.
1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 000
articles?
2. On désigne par R(x) le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles
du produit « Bêta ». On a donc R(x) = 8x.
2.a. Tracer dans le repère donné en annexe la courbe 2 représentative de la fonction recette.
2.b. Par lecture graphique déterminer:
• l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif;
• la production Xo pour laquelle le bénéfice est maximal.
3. On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers
d'articles.
3. a. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est
donné par B(x) = -0,5x2 + 7,4x-8,16 avec xe ]0;15).
3. b. Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
Indication : Montrer que B(x) = (-0,5x + 0,6)(x - 13,6)