Réponse :
partie A
on suppose que xB = 2
1) déterminer la valeur de m
m étant le coefficient directeur de la droite (AB)
A(1 ; 0) et B(2 ; 4)
m = (yB - yA)/(xB - xA) = (4 - 0)/(2 - 1) = 4
donc m = 4
2) montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe Cf au point B
la droite (AB) a pour équation y = m x + p soit y = 4 x + p
0 = 4*1 + p ⇔ p = - 4
donc y = 4 x - 4 (AB)
l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse xB = 2 est :
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f(2) = 2² = 4
f '(x) = 2 x ⇒ f '(2) = 2*2 = 4
y = 4 + 4(x - 2) = 4 + 4 x - 8 = 4 x - 4 donc il s'agit bien de l'équation de la droite (AB) par conséquent, la droite (AB) est tangente à Cf au point B
partie B
1) B est un point quelconque sur la courbe Cf
montrer que m = x²B/(xB - 1)
A(1 ; 0) et B(xB ; x²B)
m = (yB - yA)/(xB - xA) = (x²B - 0)/(xB - 1) = x²B/(xB - 1)
2) g(x) = x²/(x - 1)
Dg = Dg' = R - {1}
2) montrer que pour tout x ∈ Dg' on a; g '(x) = (x² - 2 x)/(x - 1)²
g est une fonction quotient donc dérivable sur Dg' et sa dérivée g' est
g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x² ⇒ u'(x) = 2 x
v(x) = x - 1 ⇒ v'(x) = 1
g '(x) = (2 x(x - 1) - x²)/(x - 1)² = (2 x² - 2 x - x²)/(x - 1)² = (x² - 2 x)/(x - 1)²
4) étudier le signe de g' et en déduire le tableau de variation de g
g '(x) = (x² - 2 x)/(x - 1)² or (x - 1)² > 0
donc le signe de g '(x) dépend du signe de x² - 2 x = x(x - 2)
x - ∞ 0 2 + ∞
g'(x) + 0 - 0 +
variation - ∞→→→→→ 0→→→→→→4→→→→→→→→→ + ∞
de g(x) croissante décroiss. croissante
5) que pensez-vous de l'affirmation suivante ? justifier
- si g atteint un extremum local en xB alors la droite (AB) est tangente à la courbe Cf
l'extremum local en xB = 2 étant le maximum de g
donc f(2) = 4 et f '(2) = 0 ⇒ (AB) étant une tangente horizontale y = 4
donc affirmation vraie
Explications étape par étape :
