Réponse :
1) montrer que, pour tout x ∈ R, x² + 2 x + 5 = (x + 1)² + 4 et justifier alors l'ensemble de définition de f
x² + 2 x + 5 = x² + 2 x + 5 + 1 - 1
= (x² + 2 x + 1) + 4
= (x + 1)² + 4
or pour tout x ; on a; (x + 1)² + 4 > 0 donc Df = R
2) on sait que la courbe C passe par le point A(0 ; 2/5),montrer que b = 1
A(0 ; 2/5) ∈ C ⇔ f(0) = 2/5 ⇔ 2(0² + a*0 + b)/5 = 2/5
⇔ 2 b/5 = 2/5 ⇔ b = 2 * 5/5*2 = 1 donc b = 1
3) démontrer que, pour tout x ∈ R ,
f '(x) = ((4 - 2a) x² + 16 x + 10a - 4)/(x² + 2 x + 5)²
f(x) = 2(x² + a x + 1)/(x² + 2 x + 5)
f est une fonction quotient dérivable sur Df ' = R et sa dérivée f ' est:
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = 2 x² + 2a x + 2 ⇒ u'(x) = 4 x + 2a
v(x) = x² + 2 x + 5 ⇒ v'(x) = 2 x + 2
f '(x) = [(4 x + 2a)(x² + 2 x + 5) - (2 x + 2)(2 x² + 2a x + 2)]/(x²+2 x + 5)²
= (4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a - (4x³+4ax²+4x+4x²+4ax+4))/(x²+2 x + 5)²
= (4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a - 4x³-4ax²-4x-4x²-4ax-4))/(x²+2 x + 5)²
= (4x² - 2ax² + 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²
f '(x) = (4 - 2a)x²+ 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²
4) on sait que la courbe C admet au point d'abscisse - 3 une tangente horizontale, démontrer que a = - 2
la courbe C admet en - 3 une tangente horizontale ⇔ f '(- 3) = 0
f '(- 3) = (4 - 2a)*(-3)²+ 16*(- 3) + 10a - 4)/((-3)²+2* (-3) + 5)² = 0
⇔ (36 - 18a - 48 + 10a - 4) = 0 ⇔ - 8a - 16 = 0 ⇔ 8a = - 16
⇔ a = - 16/8 = - 2
5) démontrer que, pour tout x ∈ R, f '(x) = 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2x +5)²
f '(x) = (4 - 2a)x²+ 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²
=(4 - 2*(-2))x² + 16x + 10*(- 2) - 4)/(x²+2 x + 5)²
= (8 x² + 16 x - 24)/(x²+2 x + 5)²
= 8(x² + 2 x - 3)/(x²+2 x + 5)²
= 8(x² + 2 x - 3 + 1 - 1)/(x²+2 x + 5)²
= 8(x² + 2 x + 1 - 4)/(x²+2 x + 5)²
= 8((x + 1)²- 4)/(x²+2 x + 5)²
= 8(x + 1 + 2)(x+1-2)/(x²+2 x + 5)²
= 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2 x + 5)²
6) f '(x) = 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2 x + 5)² or x² + 2 x + 5 > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de (x + 3)(x - 1)
x - ∞ - 3 1 + ∞
f '(x) + 0 - 0 +
variation 2 →→→→→→→→→→→ f(-3)→→→→→→→→→→f(1)→→→→→→→→→→→2
de f(x) croissante décroissante croissante
Explications étape par étape :
